เส้นแบ่งครึ่งมุม ข้อนี้ยากมาก ใครรู้ช่วยด้วย
 

รบกวนท่านจอมยุทธ์ทั้งหลายครับ จากการอ่านหนังสือของอาจารย์โชคชัย ศิริหาญอุดม
มีคณิตศาสตร์ข้อหนึ่งซึ่งผมข้องใจอยู่ อยากได้คำอธิบายเป็นอย่างยิ่ง
จากรูปตาม Link http://www.temppic.com/img.php?01-12...0.31275600.bmp หรือ http://img337.imageshack.us/img337/2...ianglew.th.png
ซึ่งจะเห็นว่า สามเหลี่ยม ABD ถูกแบ่งมุมยอดที่ A ออกเป็นสองส่วนเท่ากัน
และลากเส้นแบ่งนั้นมาที่จุด C
หนังสือเขาอธิบายว่า จากลักษณะดังกล่าว ทำให้ได้ความสัมพันธ์คือ
AB : AD = BC : CD
ซึ่งผมอ่านแล้วก็ยังไม่เข้าใจว่า ด้านของสามเหลี่ยมนี้ มันสัมพันธ์จากการแบ่งมุมอย่างไร
อยากให้ผู้รู้ช่วยอธิบายด้วยครับ
ขอบคุณมากครับ

รบกวนช่วยด้วยคร้าบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบ

ต้องใช้ ตรีโกณ ในการพิสูจน์นะคับผม:):)

รูปนี้เจอบ่อยครับ ส่วนใหญ่วิธีแก้ง่ายๆคือต่อรูปอ่ะครับ
http://www.temppic.com/img.php?01-12...0.95593500.jpg
ลองดูแล้วกันนะครับ

ข้อนี้ไม่จำเป็นที่จะต้องใช้ ตรีโกณ ในการพิสูจน์เสมอไป --> ใช้วิชาเรขาคณิตก็พอได้ครับ เช่น

1. ลากเส้นความสูงจากจุด A ไปตั้งฉากกับเส้น BD, ดังนั้นอัตราส่วนของพื้นที่สามเหลี่ยม ABC : ACD = BC:CD

2. ลากเส้นความสูงจากจุด C ไปตั้งฉากกับเส้น AB และ AD ที่จุด H' และH" ตามลำดับ
พบว่าสามเหลี่ยม ACH' กับ ACH" เท่ากันทุกประการ (มุมด้านมุม) --> จึงมีความสูงเท่ากัน
จะได้ว่า อัตราส่วนของพื้นที่สามเหลี่ยม ABC : ACD = AB:AD

3. สรุปได้ว่า อัตราส่วนของพื้นที่สามเหลี่ยม ABC : ACD = AB:AD = BC:CD ซตพ. :sung:

จากรูปไม่สามารถลากเส้นตรงจากจุด C มาตั้งฉากกับ AD ได้นี่ครับ ทำยังไงก็ไม่ได้
ช่วยวาดรูปให้ดูหน่อยครับ
จากรูป AD กับ CD มันก็เป็นมุมป้านอะครับ

เผอิญผมเจอวิธีพิสูจน์ในค่ายเค้าทำแบบตรีโกณอะคับ:)

ต้องลากเส้นต่อADมาอีกนะคับแล้วจะตั้งฉาก:)

รูปครับ

Attachment 4855

แถมให้ดูอีกรูปครับ
Attachment 4856

ขอบคุณทุกท่านมากครับ

ข้อนี้ผมใช้กฎของ sin ในการพิสูจน์ได้เหมือนกันครับ

นอกจากนี้..........
ความยาวของเส้นแบ่งครึ่งมุมยอดของสามเหลี่ยมใดๆเท่ากับค่าเฉลี่ยฮาร์โมนิคของความยาวประกอบมุมยอดของสามเหลี่ยมนั้นคูณกับฟังก์ชัน cosของมุมครึ่งหนึ่งของมุมยอดของสามเหลี่ยมนั้นด้วยครับ

ต่อรูปแล้วใช้สามเหลี่ยมคล้ายก็ได้ครับ