ขอโจทย์ สปส. ทวินาม หน่อยครับ
 

เอาไว้ฝึกอะครับ :please:

เอาไป2ข้อก่อนครับ

$1.)จงหาสปสของx^{119}ในการกระจาย(x+x^3+x^5+x^7)^{99}$
$2.)จงหาสปสของx^nและx^{n+r}เมื่อ1\leqslant r\leqslant nในการกระจาย
(1+x)^{2n}+x(1+x)^{2n-1}+x^2(1+x)^{2n-2}+...+x^n(1+x)^n$

จงหาค่าของ

$\displaystyle{2\binom{n}{0}+4\binom{n}{1}+8\binom{n}{2}+\cdots + 2^{n+1}\binom{n}{n}}$

$\displaystyle{(x+1)^n=\binom{n}{0}+x\binom{n}{1}+x^2\binom{n}{2}+... + x^n\binom{n}{n}}$

แทน $x=2$

$\displaystyle{\binom{n}{0}+2\binom{n}{1}+4\binom{n}{2}+... + 2^n\binom{n}{n}=3^n}$

$\displaystyle{\therefore 2\binom{n}{0}+4\binom{n}{1}+8\binom{n}{2}+\cdots + 2^{n+1}\binom{n}{n}=2\cdot 3^n}$

กรณีมีหนังสือเหล่านี้ครับ
- โลกอสมการ 1 บทแรก
- combi สอวน. เรื่อง ฟังก์ชันก่อกำเนิด กับ สัมประสิทธิ์ทวินาม

ถ้าไม่มีเดี๋ยว ทยอยโพสให้ :)

ช่วยแสดงวิธีทำให้ดูหน่อยได้มั้ยครับ ยังไม่ค่อยเข้าใจ

ช่วยดูให้หน่อยนะครับว่าทำถูกไหม เพิ่งทำข้อแรก

$(x+x^3+x^5+x^7)^{99}$

$= (x^{99})(1+x^2+x^4+x^6)^{99}$

เดี๋ยว $(x^{99})$ จะคูณเข้าไปใน $(1+x^2+x^4+x^6)^{99}$ ดังนั้นหา ส.ป.ส.ของ $x^{20}$ ใน $(1+x^2+x^4+x^6)^{99}$ ก็พอ

จาก

$(1+x^2+x^4+x^6)^{99} = (x^4+1)^{99}(x^2+1)^{99}$

กระจายทวินาม

$(x^2+1)^{99}$ จะได้ ส.ป.ส. ที่ต้องการหาคือ

$...+ \dbinom{99}{89} x^{20} +...+ \dbinom{99}{91} x^{16} +...+ \dbinom{99}{93} x^{12} +...+ \dbinom{99}{95} x^{8} +...+ \dbinom{99}{97} x^{4} +...+ \dbinom{99}{89} x^{20} +...+ 1 $

$(x^4+1)^{99}$ จะได้ ส.ป.ส. ที่ต้องการหาคือ

$...+ \dbinom{99}{94} x^{20} + \dbinom{99}{95} x^{16} + \dbinom{99}{96} x^{12} + \dbinom{99}{97} x^{8} + \dbinom{99}{98} x^{4} + 1 $

ส.ป.ส. ของ $x^{20}$ ต้องเกิดจากเลข ส.ป.ส.ของเลขชี้กำลังที่คูณกันได้ 20 มาบวกกัน

$\therefore \dbinom{99}{89} + \dbinom{99}{94} + \dbinom{99}{91}\dbinom{99}{98} + \dbinom{99}{93}\dbinom{99}{97} + \dbinom{99}{95}\dbinom{99}{96} + \dbinom{99}{97}\dbinom{99}{95}$

ซึ่งจะมีค่าเท่ากับ ส.ป.ส.ของ $x^{119}$ ในการกระจาย $(x+x^3+x^5+x^7)^{99}$

จากตรงนี้ http://www.mathcenter.net/sermpra/se...pra12p03.shtml
multinomial theorem ผมจะประยุกต์ัยังไงหรอครับ
คือ จากลิ้งค์เราจะได้ $\dfrac{99!}{a!b!c!d!}(x^a)(x^3)^b(x^5)^c(x^7)^d$
เราจะได้ $a+b+c+d = 99 , a+3b+5c+7d = 119$ เราต้องไล่หาคำตอบทุกชุดเลยหรอครับ เราจะมีเทคนิคยังไงอะครับ

ใช้วิธีพี่sirenคิดต่อจากพี่MiNd169จะได้ดังนี้ครับ

จาก$(x+x^3+x^5+x^7)^{99}= (x^{99})(1+x^2+x^4+x^6)^{99}$
หาสปสหน้า$x^{20}$ของ$(1+x^2+x^4+x^6)^{99}$
จากสปสทวินามจะได้
$\dfrac{99!}{95!1!0!3!}(1^{95})(x^2)^1(x^4)^0(x^6)^3$
$+\dfrac{99!}{95!0!2!2!}(1^{95})(x^2)^0(x^4)^2(x^6)^2$
$+\dfrac{99!}{94!2!1!2!}(1^{94})(x^2)^2(x^4)^1(x^6)^2$
$+\dfrac{99!}{93!4!0!2!}(1^{93})(x^2)^4(x^4)^0(x^6)^2$
$+\dfrac{99!}{94!1!3!1!}(1^{94})(x^2)^1(x^4)^3(x^6)^1$
$+\dfrac{99!}{93!3!2!1!}(1^{93})(x^2)^3(x^4)^2(x^6)^1$
$+\dfrac{99!}{92!5!1!1!}(1^{92})(x^2)^5(x^4)^1(x^6)^1$
$+\dfrac{99!}{91!7!0!1!}(1^{91})(x^2)^7(x^4)^0(x^6)^1$
$+\dfrac{99!}{94!0!5!0!}(1^{94})(x^2)^0(x^4)^5(x^6)^0$
$+\dfrac{99!}{93!2!4!0!}(1^{93})(x^2)^2(x^4)^4(x^6)^0$
$+\dfrac{99!}{92!4!3!0!}(1^{92})(x^2)^4(x^4)^3(x^6)^0$
$+\dfrac{99!}{91!6!2!0!}(1^{91})(x^2)^6(x^4)^2(x^6)^0$
$+\dfrac{99!}{90!8!1!0!}(1^{90})(x^2)^8(x^4)^1(x^6)^0$
$+\dfrac{99!}{89!10!0!0!}(1^{89})(x^2)^{10}(x^4)^0(x^6)^0$

ตอบ$\dfrac{99!}{95!1!0!3!}+\dfrac{99!}{95!0!2!2!}+\dfrac{99!}{94!2!1!2!}+\dfrac{99!}{93!4!0!2!}+\dfrac{99!}{94!1!3!1!}+\dfrac{99 !}{93!3!2!1!}+\dfrac{99!}{92!5!1!1!}+\dfrac{99!}{91!7!0!1!}+\dfrac{99!}{94!0!5!0!}+\dfrac{99!}{93!2!4!0!}+\dfrac{99!}{92!4!3!0!} +\dfrac{99!}{91!6!2!0!}+\dfrac{99!}{90!8!1!0!}+\dfrac{99!}{89!10!0!0!}$

ถ้าทำเป็นแบบสมการ ขอแนะวิธีการทำ หน่อยครับ

น่าจะเขียนออกมาได้เป็น
$\frac{99!}{r!s!t!u!}x^{2s+4t+6u} $ โดยที่ $2s+4t+6u = 20 \rightarrow s+2t+3u=10$ และ$r+s+t+u= 99$

มาำทำต่อ ๆ
ผมรู้เงื่อนไขมันละครับ คือ $r,s,t,u \geqslant 0$
$r+s+t+u = 99 , s+2t+3u = 10$
ทำให้เราได้ว่า $u \in [0,3] , t \in [0,5] , s \in [0,10]$
เราเอา $u$ เป็นหลักเพราะ แทนค่า สะดวกที่สุด
จะพบว่า $(r,s,t,u) = (89,10,0,0) , (90,8,1,0) ,(91,6,2,0) ,(92,4,3,0) ,(93,2,4,0)$
$ ,(94,0,5,0) ,(91,7,0,1) ,(92,5,1,1) ,(93,3,2,1) ,(94,1,3,1) ,(93,4,0,2) ,(94,2,1,2)$
$ ,(95,0,2,2) ,(95,1,0,3) $

อยากแทนอันไหนก็ได้ตามใจชอบเลยครับ :haha:

น่าจะใช้วิธีแทนตัวเลข เพื่อหาขอบเขตของแต่ละค่าที่เป็นจำนวนเต็ม
ที่แน่ๆคือ $r=89+t+2u$
นั่นหมายความว่า ค่าเริ่มต้นของ$r$ คือ $89$
ก็น่าจะแทนค่าเอา

ช่วยตรวจคำตอบให้หน่อยครับ ทำมาแล้วนะครับ ขอบคุณครับ ๆ

วิธีพี่sirenน่าจะใช้ได้ครับ