|
ร่วมเฉลยปัญหามุมนักคิดใน pratabong
|
ปัญหาที่ 55 ผมได้ว่า $m = -1,0,\frac{(3+5)\pm\sqrt{2-2\sqrt{5}}}{2},\frac{(3-5)\pm\sqrt{2+2\sqrt{5}}}{2}$
ปัญหาที่ 57 ผมได้ว่า $a \in [-\frac{\sqrt{2}}{4},\frac{\sqrt{2}}{4}]$ เหมือนใครมั่งมั้ยน้อ :sweat: |
ข้อที่ 55/2548 นะครับ ไม่ค่อยมั่นใจเท่าไหร่นะครับ
โจทย์ จงหา ค่าของจำนวนจริง m ทุกจำนวน ซึ่งทำให้สมการ $(x^2 − 2m x − 4(m^2 + 1)) (x^2 − 4x − 2m(m^2 + 1)) = 0$ มีรากที่แตกต่างกันเพียงสามค่า (1997 Bulgarian National Olympiad in Mathematics) ให้ $(x^2 − 2m x − 4(m^2 + 1))=p(x)$ และ $(x^2 − 4x − 2m(m^2 + 1)) = q(x)$ พิจรณา จำนวนจริง $x$ ที่ทำให้ $p(x)=0$ จะได้ $(x^2 − 2m x − 4(m^2 + 1))=0$ $x=m\pm \sqrt{5m^2+4}$ สังเกตุว่า $5x^2+4>0$ จะได้ว่า $p(x)=0$ มีรากทั้งหมด 2 ราก นั่นคือ จะได้ว่า $q(x)=0$ ต้องมีรากเดียว พิจรณารากของ $q(x)=0$ ได้ $x=2\pm \sqrt{2m^3+2m+4}$ แต่ $q(x)=0$ ต้องมีรากเดียว นั่นคือ $2m^3+2m+4=0$ $(m+1)(m^2-m+2)=0$ แต่$m$เป็นจำนวนจริง จะได้ $m=-1$ เพียงค่าเดียวที่เป็นไปได้ แต่เมื่อแทน $m=-1$ แล้วจะได้ $f(x)$ มี 2 ราก กรณีที่ $p(x)$ กับ $q(x)$ มีรากซ้ำ จะได้ว่ามี $x$ ที่ทำให้ $p(x)=q(x)=0$ $(x^2 − 2m x − 4(m^2 + 1))=(x^2 − 4x − 2m(m^2 + 1))$ $(4-2m)x=(4-2m)(m^2+1)$ กรณีที่ $m=2$ จะได้ $f(x)$ มีเพียงสองราก ดังนั้น $m \not= 2$ $x=m^2+1$ แทนค่ากลับลงไปจะได้ $f(x)=(x^2-2mx-4x)^2=0$ $x^2(x-4-2m)^2=0$ แต่ถ้า $x=0$ จะเกิดข้อขัดแย้งกับ $x=m^2+1$ กรณีที่ $x=4+2m=m^2+1$ จะได้ $m=-1,3$ แทน $m=3$ พบว่าเป็นจริง |
แทน x=0 ผมก็เท็จแล้วครับ :cry:
ผมตีความว่า มีรากที่แตกต่างกันเพียงสามค่า เป็น มีรากซ้ำ 1 ค่าครับ ใช้สูตรแล้วก็จับมาเท่ากันทีละตัว :sweat: ปล. พบที่ผิดแล้วครับ :laugh: ตั้งแต่ต้นเลย :aah: |
อ้างอิง:
|
#6 ขอบคุณครับ :) แต่ถ้าแทนอย่างนั้นมันได้ f(x) เป็น 0.76 อ่ะครับ เดี๋ยวผมลองคิดดูอีกทีละกันครับ :laugh:
ปัญหาที่ 55 ได้มา 3 ตัวคือ -1,2,3 ครับ แต่ทดสอบดูแล้วใช้ได้แค่ -1,3 ปัญหาที่ 57 คิดใหม่ได้ $a\in[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]$ (ลืมคิดอีกกรณี :please:) |
#7
จริงด้วยแหะ ผมรีบร้อนสรุปไปหน่อยแหะ T_T ปล. m=-1 ไม่จริงนะครับ ปล. 2 ผม EDIT Solution ใหม่แล้วนะครับที่คาดว่าน่าจะสมบูรณ์มากที่สุด |
อ่อครับผมก็รีบไปหน่อยตอนใส่ $x=-1$ ดันได้เป็น $(x^2+2x-8)(x^2+4x+4)$ :blood:
|
อ้างอิง:
|
อ้างอิง:
|
ปัญหาที่ 58 ผมได้ว่า หลักหน่วยของ $n^2$ คือ $6$ ครับ
ปัญหาที่ 59 ผมได้ว่า ค่าสูงสุดของ $z$ คือ $\frac{13}{3}$ ครับ ปล. ข้อไหนมั่นใจว่าคำตอบถูกต้องแล้วจะเอาขึ้นไว้ที่ #1 นะครับ :) |
ข้อ 58
ผมใช้ mod 4 อ่ะครับ จากความจริงที่ว่า $n^2\equiv 0 (mod 4)$ หรือ $n^2\equiv 1 (mod 4)$ เท่านั้น พิจรณา $n^2$ ที่มีหลักสิบเท่ากับ 7 หลักหน่วยเท่ากับ x ให้ $n^2=a_na_{n-1}...a_07x=(a_na_{n-1}...a_0)100+7x$ สังเกตุว่า $4\mid 100(a_na_{n-1}...a_0)$ โดยที่ $a_i$ ป็นเลขโดด พิจรณา $7x$ กรณีที่ $4\mid n^2$ จะได้ $x=2,6$ แต่ไม่มีจำนวนเต็มใดยกกำลังสองแล้วลงท้ายด้วย 2 ดังนั้น เลข 2 เป็นไปไม่ได้ กรณีที่ $n^2\equiv 1 (mod 4)$ จะได้ $x=3,7$ ซึ่งเป็นไปไม่ได้ด้วยเหตุผลเดียวกับ 2 ดังนั้น 6 จึงเป็นเพียงเลขเดียวที่เป็นไปไ้ด้ |
ข้อ 58 ผมนั่งพิจารณาไปเรื่อยๆแฮะ(นานดีครับ :cry:) ใช้ congruence ไม่ค่อยเป็น :aah:
ได้เพิ่มมาสองข้อ :happy: ข้อ 63 ผมได้ $(m,n)=(0,0),(0,1)$ ข้อ 61 ผมได้ $f(x)=\frac{4}{9}x^3,0$ ปล. 0 เป็นพหุนามหรือเปล่าครับ :sweat: |
64.
พิจรณา $21n+4=(1)(14n+3)+(7n+1)$ $14n+3=(2)(7n+1)+1$ โดยวิธีการหารแบบยูคลิดจะได้ว่า $(21n+4,14n+3)=1$ นั่นคือ $\frac{21n+4}{14n+3}$ เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ ุ65. ผมกระจายออกสุดท้ายได้ $8cos^6x-10cos^4x+3cos^2x=0$ แก้สมการได้ $x=\frac{\pi }{2} +2k\pi,\frac{3\pi }{2} +2k\pi ,\frac{\pi }{4}+2k\pi,\frac{3\pi }{4}+2k\pi,\frac{5\pi }{4} +2k\pi,\frac{7\pi }{4} +2k\pi,\frac{\pi }{ุ6} +2k\pi,\frac{5\pi }{6} +2k\pi,\frac{7\pi }{6} +2k\pi,\frac{11\pi }{6} +2k\pi$ |
57. ตอบ $-\dfrac{1}{2}\leq a\leq \dfrac{1}{2\sqrt{2}}$
จัดรูปอสมการใหม่ได้ $2a^2-\dfrac{1}{4}\leq (x-a)^2\leq \dfrac{7}{4}+2a^2$ ทุกค่า $x\in [0,1]$ Case 1: $a\geq 1$ จะได้ $(1-a)^2\leq (x-a)^2\leq (0-a)^2$ ทุก $x\in [0,1]$ ดังนั้น $2a^2-\dfrac{1}{4}\leq (1-a)^2$ และ $a^2\leq\dfrac{7}{4}+2a^2$ ซึ่งเป็นไปไม่ได้ Case 2: $a\leq 0$ จะได้ $a^2\leq (x-a)^2\leq (1-a)^2$ ทุก $x\in [0,1]$ ดังนั้น $2a^2-\dfrac{1}{4}\leq a^2$ และ $(1-a)^2\leq\dfrac{7}{4}+2a^2$ ซึ่งจะได้ $-\dfrac{1}{2}\leq a\leq 0$ Case 3: $0\leq a\leq 1$ จะได้ $0\leq (x-a)^2\leq\max{\{a^2,(1-a)^2\}}$ ทุก $x\in [0,1]$ ดังนั้น $2a^2-\dfrac{1}{4}\leq 0$ และ $a^2\leq\dfrac{7}{4}+2a^2$ และ $(1-a)^2\leq\dfrac{7}{4}+2a^2$ ซึ่งจะได้ $0\leq a\leq \dfrac{1}{2\sqrt{2}}$ สรุปว่า $-\dfrac{1}{2}\leq a\leq\dfrac{1}{2\sqrt{2}}$ |
ว้าวพี่ noonuii ลงมาเล่นด้วยแล้ว
66. $ให้ a, b, c$ เป็นความยาวด้านทั้งสามของสามเหลี่ยม ABC จงพิสูจน์ว่า $a^2 (b + c − a) + b^2 (c + a − b) + c^2 (a + b − c) ≤ 3abc$ (1964 IMO) $L.H.S=ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)-a^3-b^3-c^3\leqslant 3abc$ $\Leftrightarrow ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)\leqslant a^3+b^3+c^2+3abc$ ซึ่งเป็นจริงโดย schur's inequality 68. ผมคิดได้ 153846 วิธีคิดผมไม่สวยเลยมีใครมีแนวคิดที่ดีกว่าก็โปรดชี้แนะด้วย คิดโดย ให้ $n=(a_na_{n-1}...a_1(10)+6)4= 6(10^n)+a_na_{n-1}...a_1$ สมมติให้ $a_na_{n-1}...a_1=k$ จัสมการใหม่ได้ $k(39)+24=6(10^n)\rightarrow 13k+8=2(10^n)$ แ้ลวค่อยมาพิจรณาหลักหน่วยของ k โดยที่หลักหน่วยคูณ 13 แล้วลงท้ายด้วย 2 จะได้หลักหน่วยคือ 4 แล้วก็ใช้หลักการเดียวกันพจรณาไล่ไปเรื่อยๆ |
อ้างอิง:
|
อ้างอิง:
$x=\dfrac{1}{2}\Rightarrow |f(x)|=|x^2-x-1|=\dfrac{5}{4}>1$ |
ขอบคุณครับ :please:
|
เท่าที่คิดได้รวบยอดนะครับ
$55. 3$ $58. 6$ $59. \frac{13}{3}$ $61. 0,\frac{4x^2}{9}$ $63. (m,n)=(0,0),(0,1)$ $64.$ ใช้ยูคลิดเหมือนคุณ Light ครับ $65. frac{(2n+1)\pi}{2},frac{(2n+1)\pi}{4},frac{(12n\pm1)\pi}{6},frac{(12n+6\pm1)\pi}{6}$ $67. a\not=b\pm2|b|\wedge a\not=\pm b\wedge a\not=0$ $69. [\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{2}]$ $75. 48$ $77. 245$ ปล. รบกวนผู้รู้ทุกท่านช่วยตรวจด้วยครับ :please::) ปล2. AIME นี่คือการแข่งขันอะไรครับ :confused: |
ข้อ 65. ผมกลับมาคิดใหม่แล้วได้
$x=\frac{\pi }{2} +2k\pi,\frac{3\pi }{2} +2k\pi ,\frac{\pi }{4}+2k\pi,\frac{3\pi }{4}+2k\pi,\frac{5\pi }{4} +2k\pi,\frac{7\pi }{4} +2k\pi,\frac{\pi }{ุ6} +2k\pi,\frac{5\pi }{6} +2k\pi,\frac{7\pi }{6} +2k\pi,\frac{11\pi }{6} +2k\pi$ ตรงกับของคุณ SIL ครับ |
ข้อ 70. ไม่ confirm
กำหนด f เป็นฟังก์ชัน ซึ่งสอดคล้องกับเงื่อนไข $f (2 + x) = f (2 − x)$ และ $f (7 + x) = f (7 − x)$ สำหรับทุกค่าของจำนวนจริง x ถ้า$ x = 0 $เป็นรากหนึ่งของสมการ $f (x) = 0$ แล้ว รากของสมการ $f (x) = 0$ ซึ่งมีค่าอยู่ในช่วง$ −1000 ≤ x ≤ 1000$ จะมีอยู่ทั้งหมด อย่างน้อยที่สุดกี่ตัว (AIME 1984) จาก $f (2 + x) = f (2 − x)$ แทน $x=10k_0+2$ $f(10k_0+4)=f(-10k_0)$ เมื่อนแทน $k_0=0$ จะได้ $f(4)=0$ พิจรณา $f (7 + x) = f (7 − x)$ แทน $x=10k_1+7$ $f(10(k_1+1)+4)=f(-10k_1)$ กำหนดให้ $k_0=k_1$ จะได้ $f(10k_0+4)=f(10(k_0+1)+4)$ เมื่อแทน $k_0=0$ จะได้ $f(10(k)+4)=0$ ทุกจำนวนเต็ม $k$ (สรุปได้โดยใช้แนวคิดคล้ายๆ Induction อ่ะครับ) แต่ $f(10k+4)=f(-10k)$ จะได้ $f(-10k)=0$ ทุกจำนวนเต็ม $k$ เช่นกัน จะได้ x ที่อยุ่ในช่วง $ −1000 ≤ x ≤ 1000$ มี จะมีอย่างน้อย $200+200=400$ |
อ้างอิง:
ไม่แน่ใจมากถึงมากที่สุด :haha: ปล. ข้อ 75 ผมได้ เศษคือ 35 อ่าครับ ข้อ 77 ผมได้ 448 อ่ะครับ |
อ่า ผมลองนับใหม่ดูแล้วครับ ตัวที่หาร 10 เหลือเศษ 4 ฝั่งบวกได้ 4,14,24,...,994 มี 100 ตัว ฝั่งลบ -4,-14,-24,...,-994 มี 100 ตัว
ดังนั้นคำตอบควรจะเป็น 200 นะ ปล. ข้อ 75 ผมได้ 35 เท่าน้อง Scylla ครับ |
ข้อ 75 คิดใหม่ได้ 35 จริงๆครับ :please:
ข้อ 77 น้อง Scylla_Shadow คิดไงหรอครับ |
อ้างอิง:
จะได้ว่า $S $ ทำการกระทำตามโจทย์กับ $(7\cup S) $ จะได้ผลลัพธ์เป็น 7 เสมอครับ |
ปัญหาที่ 80/2548 (not sure at all)
ถ้าเขียนพหุนาม $1 − x + x^2 − x^3 + ? − x^{15} + x^{16} − x^{17}$ ในรูปของพหุนาม $a_0 + a_1 y + a_2 y^2 + a_3 y^3 + ? + a_{16} y^{16} + a_{17} y^{17}$ โดยที่ $y = x + 1$ และ $a_0 , a_1, a_2 , ?, a_{17}$ เป็นค่าคงที่ แล้ว $a_2$ มีค่าเท่ากับเท่าใด (AIME 1986) $y=x+1\rightarrow x=y-1$ $1 − x + x^2 − x^3 + ? − x^15 + x^16 − x^17=1-(y-1)+(y-1)^2-(y-1)^3+...-(y-1)^{15}+(y-1)^{16}-(y-1)^{17}$ So the coefficient of $y^2=\binom{2}{2}+\binom{3}{2}+\binom{4}{2}+...+\binom{16}{2}+\binom{17}{2}=\binom{17+1}{2+1}=\binom{18}{3}=816$ |
อ้างอิง:
เราจะได้ว่า $f(x)=\frac{1-x^{18}}{1+x}$ แต่ $x=y-1$ เพราะฉะนั้น $f(y-1)=\frac{1-(y-1)^18}{y}$ สปส ของ $y^2$ = $\binom{18}{3} =816$ |
หลงข้อหรือเปล่าครับ :sweat:
 |
อ้างอิง:
แต่ผมก็ยังไม่ตรงกับพี่อ่ะ ข้อ77 ผมได้ 600 ตัวอ่ะครับ ไม่ลง full solution นะ ให้ $x=\frac{m}{24}$ ==> ไล่ดูตั้งแต่ m=1,2,3,...,24 จะได้ว่า มีค่าที่เราต้องการ 12 ค่าครับจาก 1-20 นะ (คือมีค่าที่สอดคล้องกับโจทย์อ่ะ ตั้งแต่ 1-20 มีอยู่ 12 ตัว <หาเอง>) นั่นคือ 20 จำนวนแรกมีที่สอดคล้อง 12 ตัว 1000 จำนวนแรกมีที่สอคล้อง 600 ตัว (ลองดูครับ มันเป็น pattern) |
พี่ทำแบบซอยช่วงเอาอ่ะครับ เป็น 5 ช่วงคือ $[0,\frac{1}{8}),[\frac{1}{8},\frac{1}{6}),...,[\frac{1}{2},1)$
กำหนดให้ $y=[2x]+[4x]+[6x]+[8x]$ นั่นคือ ทุก $x \in [n,n+1)$ จะมี $x$ ที่ให้ y อยู่ 5 ค่า (ขอเรียกว่า 1 ช่วงแล้วกัน) และได้ว่า $x\in[\frac{1}{8},50\frac{1}{8})$ นั่นคือ มี $x$ อยู่ $49$ ช่วง คือ $[1,50)$ และนับกรณีที่เหลือจะได้ว่า มี x อยู่ 250 ตัวครับ (อันบนเอามาผิดบรรทัด :sweat:) ปล. พลาดตรงไหนชี้แนะด้วยก็ดีครับ :) |
อ้างอิง:
|
ช่วยเฉลยหน่อยครับ
1. (1)จงหาค่าต่ำสุดของ $x^2y-y^2x$ เมื่อ $0 \leqslant x \leqslant 1$ ,$ 0 \leqslant y \leqslant 1$ (2) จงหาค่าต่ำสุดของ $x^2y+y^2z+z^2x-x^2z-z^2y-y^2x$ เมื่อ $0 \leqslant x \leqslant 1$ ,$ 0 \leqslant y \leqslant 1 $,$ 0 \leqslant z \leqslant 1$ 2. จงหาจำนวนเต็มบวกแรก และจำนวนเต็มบวกทั้งหมดที่ยกกำลังสอง ลงท้ายด้วย $444$ และพิสูจน์ว่า ไม่มีกำลังสองของจำนวนใดลงท้ายด้วย $4444$ ref: มุมนักคิดที่ 46 ปัญหาที่ 136/2549 - 138/2549 |
ข้อ 1 ทำแบบนี้รึป่าวครับ
$0\leqslant x^2y\leqslant 1$ $0\leqslant y^2x\leqslant 1$ $-1\leqslant -y^2x\leqslant 0$ $\therefore -1\leqslant x^2y-y^2x\leqslant 1$ ดังนั้นค่าต่ำสุดคือ $-1$ ด้วยวิธีเดียวกันข้อ 2 ตอบ $-3$ |
อ้างอิง:
|
อ้างอิง:
|
อ้างอิง:
แสดงว่า $x^2y-y^2x=x^2y+(-y^2x)$ ดังนั้นค่าต่ำสุดจะเกิดจากการนำค่าต่ำสุดของทั้ง 2 ช่วงนั้นบวกกันครับ |
คือ เราอยากรู้ว่า ค่าต่ำสุดของการบวกกัน เกิดขึ้น เมื่อ x,y เป็นเท่าใด
|
อ้างอิง:
|
อ้างอิง:
|
| เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 08:13 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha