ส่งจดหมายถูกซอง
 

ในการใส่จดหมาย 5 ฉบับ ที่เขียนถึงคน 5 คน คนละ 1 ฉบับ ลงในซองที่จ่าหน้าซองแ้ว 8 ซอง ซองละหนึ่งฉบับ ความน่าจะเป็นที่ใส่จดหมายลงในซองได้ตรงกับชื่อหน้าซองไม่เกิน 3 ซอง และ ไม่น้อยกว่า 1 ซองเท่ากับข้อใด
$1) \frac{75}{120} 2) \frac{85}{120} 3)\frac{90}{120} 4)\frac{96}{120}$

ที่ผมคิดได้ วิธีทำอย่างนี้ครับ
ถูก 1 ซอง $\frac{1}{5}x\frac{3}{4}x\frac{2}{3}x\frac{1}{2}$
ถูก 2 ซอง $\frac{1}{5}x\frac{1}{4}x\frac{2}{3}x\frac{1}{2}$
ถูก 3 ซอง $\frac{1}{5}x\frac{1}{4}x\frac{1}{3}x\frac{1}{2}$
รวมได้ $\frac{9}{120}$
แต่เฉลยมันตอบข้อ 1) :cry: ช่วยกระผมหน่อยนะครับ:please:

ข้อนี้โดนหลอกให้คิดว่าใส่ถูก 1ซอง เพราะซองที่จ่าไว้ 8 ฉบับ มีที่ไม่ใช่ตรงกับจดหมายที่เขียนไว้ 3 ซอง นั่นหมายความว่า ยังไงหยิบแบบมั่วๆอย่างน้อยก็ต้องได้ซองที่จ่าถูก 2 ฉบับ จริงไหมครับ ลองคิดอีกทีก่อนไหมครับ

ผมว่าผมน่าจะตีความโจทย์ผิด เป็นไปได้ว่าใส่ถูก1ซอง เพราะขึ้นอยู่กับลำดับในการใส่ ได้ซองมาถูกทั้ง5ซอง แต่ใส่สลับกันก็ถือว่าผิด....ขอโทษครับที่ทำให้สับสน

ถ้าจะให้ตอบข้อ 1. จะต้องเปลี่ยนโจทย์ก่อนครับ คือเปลี่ยนเป็นว่ามีซองจดหมายอยู่ 5 ซอง เท่านั้น ถ้าเป็น 8 ซอง จะคิดยากกว่านี้เยอะครับ.

สมมติให้ A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {1, 2, 3, 4, 5}

n(S) = จำนวนฟังก์ชันทั่วถึงจาก A ไปยัง B ซึ่งจะมีได้ 5! = 120 วิธี

n(E) = จำนวนฟังก์ชันทั่วถึงจาก A ไปยัง B โดยที่

กรณีที่ 1. ตรง 1 ซอง ซึ่งหมายความว่า
f(1) = 1 และ f(2) $\not= 2$, f(3) $\not= 3$, f(4) $\not= 4$, f(5) $\not= 5$ (หรือวนเป็นแบบอื่นซึ่งมีได้ C(5, 1) = 5 แบบ)

ในที่นี้จะสร้างได้ $C(5, 1)D_4$ ฟังก์ชัน เมื่อ $D_4$ เป็นจำนวนวิธีที่ส่งจดหมายของคน 4 คน ไม่ถูกซองของเขาเลยสักคน

กรณีที่ 2. ตรง 2 ซอง ซึ่งหมายความว่า
f(1) = 1 และ f(2) = 2, f(3) $\not= 3$, f(4) $\not= 4$, f(5) $\not= 5$ (หรือวนเป็นแบบอื่นซึ่งมีได้ C(5, 2) แบบ)

ในที่นี้จะสร้างได้ $C(5, 2)D_3$ ฟังก์ชัน เมื่อ $D_3$ เป็นจำนวนวิธีที่ส่งจดหมายของคน 3 คน ไม่ถูกซองของเขาเลยสักคน

กรณีที่ 3. ตรง 3 ซอง ซึ่งหมายความว่า
f(1) = 1 และ f(2) = 2, f(3)= 3, f(4) $\not= 4$, f(5) $\not= 5$ (หรือวนเป็นแบบอื่นซึ่งมีได้ C(5, 3) แบบ)

ในที่นี้จะสร้างได้ $C(5, 3)D_2$ ฟังก์ชัน เมื่อ $D_2$ เป็นจำนวนวิธีที่ส่งจดหมายของคน 2 คน ไม่ถูกซองของเขาเลยสักคน

ดังนั้น n(E) = $C(5, 1)D_4 + C(5, 2)D_3 +C(5, 3)D_2 = 5(9) + 10(2) + 10(1) = 75$

ดังนั้น P(E) = 75/120

note. $D_n=(n-1)(D_{n-1}+D_{n-2}) , D_1 = 0, D_2 = 1$

วิธีการเฉลยของคุณห้าดาวนี่น่าสนใจจริงๆ ถ้าโจทย์บอกว่าซองมี 8 ซองจริงๆจะได้เท่าไหร่ ผมยังคิดไม่ออกเลย และยังติดวิธีการนับบางกรณีอยู่
กำลังจะหาซื้อหนังสือของ สอวนเรื่องคอมบิ ....ไปดูที่ร้านหนังสือที่ลำปาง หนังสือของสอวน.ถูกเก็บออกจากชั้นวางทั้งหมด ไม่ว่าจะคณิต ฟิสิกส์หรือชีว ไปเชียงใหม่ร้านเดียวกันก็เก็บออกหมด คงเหลือแต่ร้านนายอินทร์ที่ลำปาง ไม่รู้ว่าจะเหลืออยู่หรือเปล่า....เดาว่าสอวน.กำลังจะออกเวอร์ชั่นใหม่กว่าหรือเปล่าเลยต้องเก็บออก
นั่งคิดโจทย์ไปนึกถึงเพลง..จดหมายผิดซอง ของมนต์สิทธิ์ คำสร้อย....ไปด้วย

ขอโทษด้วยครับ ผมพิมโจทย์ผิด ตรงสีแดงๆ จริงๆมันเป็น "ที่จ่าหน้าซองแล้ว 5 ซอง"
ขอประทานอภัยอย่างสูง:please:

มาบอก 2 เรื่อง

เรื่องแรก อยากฟังเพลงอะไร บอกดีเจกิตติได้ ขานั้นเขาถนัดเรื่องเพลงอยู่แล้ว :haha:

เรื่องที่สอง ถ้าเป้น youtube ทางเว็บmathcenterได้กรูณาให่ใส่ได้ เป็นบริการพิเศษสำหรับสมาชิก

มาจากไหนครับ ช่วยบอกด้วยได้ไหมครับ:confused:

ให้ $D_n$ แทนจำนวนวิธีในการส่งจดหมายที่ต่างกัน n ฉบับ ลงในซองจดหมายที่ต่างกัน n ซอง โดยที่ส่งผิดซอง
จะได้ $D_1=0, D_2=1$ ลองเขียนดูนะครับไม่ยาก

$D_3 = 2 $ คือ
f(1) = 2, f(2) = 3, f(3) = 1 กับ
f(1) = 3, f(2) = 1, f(3) = 2

สำหรับจดหมายตั้งแต่ 4 ฉบับขึ้นไป (ใช้กับ 3 ฉบับก็ได้)

จะแบ่งเป็น 2 กลุ่มคือ
กลุ่มที่ 1, f(1) = b และ f(b) = 1 (โดยที่ b $\ne 1$)
กลุ่มที่ 2, f(1) = b แต่ $f(b) \ne 1$

ถ้ามี n ฉบับ
กลุ่มที่ 1, ได้แก่
f(1) = 2 และ f(2) = 1 ตอนนี้จะเหลือจดหมาย n - 2 ฉบับ ซึ่งจะส่งให้ไม่ตรงเลยได้ $D_{n-2}$ วิธี
f(1) = 3 และ f(3) = 1 ตอนนี้จะเหลือจดหมาย n - 2 ฉบับ ซึ่งจะส่งให้ไม่ตรงเลยได้ $D_{n-2}$ วิธี
.....
f(1) = n และ f(n) = 1 ตอนนี้จะเหลือจดหมาย n - 2 ฉบับ ซึ่งจะส่งให้ไม่ตรงเลยได้ $D_{n-2}$ วิธี

ดังนั้นในกรณีนี้จะส่งได้ทั้งหมด $(n-1)D_{n-2}$ วิธี

กลุ่มที่ 2, ได้แก่
f(1) = 2 แต่ f(2) $\ne 1$ (เป็นอะไรยังไม่ต้องเลือก) ตอนนี้จะเหลือจดหมาย n - 1 ฉบับ ซึ่งจะส่งให้ไม่ตรงเลยได้ $D_{n-1}$ วิธี
f(1) = 3 แต่ f(3) $\ne 1$ (เป็นอะไรยังไม่ต้องเลือก) ตอนนี้จะเหลือจดหมาย n - 1 ฉบับ ซึ่งจะส่งให้ไม่ตรงเลยได้ $D_{n-1}$ วิธี
.....
f(1) = n แต่ f(n) $\ne 1$ (เป็นอะไรยังไม่ต้องเลือก) ตอนนี้จะเหลือจดหมาย n - 1 ฉบับ ซึ่งจะส่งให้ไม่ตรงเลยได้ $D_{n-1}$ วิธี

ดังนั้นในกรณีนี้จะส่งได้ทั้งหมด $(n-1)D_{n-1}$ วิธี

รวม 2 กลุ่มก็จะได้ $D_n = (n-1)(D_{n-2} + D_{n-1})$

โห วิธีทำขั้นสูง แต่ก็พอเข้าใจ
พอดีผมอยู่แค่ม.3เองครับ พอจะมีวิธีที่ เด็กม.3รู้เรื่องไหมครับ ผมพอจะรู้เรื่อง nCr,nPr มาบ้าง

โจทย์ทำนองนี้เคยเป็นข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย ในช่วงประมาณไม่เกิน 10 ปีที่ผ่านมา ผมจำไม่ได้ครับว่าเป็นของ พ.ศ.ไหน ถ้าสนใจลองหาดู

ส่วนวิธีการมองปัญหาให้อยู่ในรูปความสัมพันธ์เวียนเกิด (recurrence relation) เป็นสิ่งที่นักคณิตศาสตร์ใช้แก้ปัญหาที่ถ้านั่งทำซ้ำ ๆ ต่อไปแล้วจะยากขึ้นเรื่อย ๆ ครับ

เช่น สมมติว่ามีลำดับ
2, 5, 8, 11, ...

ถ้าเราหาสูตรของพจน์ทั่วไปก็จะได้เป็น $a_n = 3n-1$ เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวกใด ๆ
แต่ถ้ามองในแง่ความสัมพันธ์เวียนเกิด เราจะพบว่า พจน์ที่อยู่ถัดไปจะเท่ากับพจน์ที่อยู่ก่อนหน้าตัวมัน บวกด้วย 3 เสมอ
$a_2 = a_1 + 3$
$a_3 = a_2 + 3$ ...

ดังนั้นจึงอาจจะเขียนในแง่ความสัมพันธ์เวียนเกิดได้เป็น $a_n = a_{n-1} + 3$ เมื่อ $n \ge 2$ และ $a_1 = 2$

หรือลำดับ
2, 4, 8, 16, ...
ถ้าเราหาสูตรของพจน์ทั่วไปก็จะได้เป็น $a_n = 2^n$ เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวกใด ๆ
แต่ถ้ามองในแง่ความสัมพันธ์เวียนเกิด เราจะพบว่า พจน์ที่อยู่ถัดไปจะเท่ากับพจน์ที่อยู่ก่อนหน้าตัวมัน คูณด้วย 2 เสมอ
$a_2 = 2a_1$
$a_3 = 2a_2 $ ...

ดังนั้นจึงอาจจะเขียนในแง่ความสัมพันธ์เวียนเกิดได้เป็น $a_n = 2a_{n-1}$ เมื่อ $n \ge 2$ และ $a_1 = 2$

หรือลำดับ Fibonacci ที่โด่งดังคือ
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...
จะเขียนในแง่ความสัมพันธ์เวียนเกิดได้เป็น $a_n = a_{n-1} + a_{n-2}$ เมื่อ $n \ge 3$ และ $a_1 = a_2 = 1$

หรือถ้าถามว่าจะมีจำนวนในระบบฐานสองที่มีความยาว 8 ทั้งหมดกี่จำนวนซึ่งไม่มีศูนย์สองตัวใด ๆ อยู่ติดกัน

เช่น 01110111 ใช้ได้ แต่ในขณะที่ 10011111 แบบนี้ใช้ไม่ได้ ถ้านับโดยตรงก็จะทำได้เฉพาะเมื่อมีความยาวน้อย ๆ
เช่น
n = 1 จะมี 2 จำนวนคือ 0 กับ 1
n = 2 จะมี 3 จำนวนคือ 01, 10, 11
n = 3 จะมี 5 จำนวนคือ 010, 011, 110, 101, 111,

แต่ถ้ายาวมาก ๆ และสามารถหาออกมาเป็นความสัมพันธ์เวียนเกิด ก็จะทำให้คำนวณได้ง่ายขึ้น (ในที่นี้จะได้ $a_n = a_{n-1} + a_{n-2}$ เมื่อ $n \ge 3$ และ $a_1 = 2, a_2 = 3$ ซึ่งเป็นความสัมพันธ์ทำนองเดียวกันกับลำดับ Fibonacci นั่นเองครับ)

วิธีข้างบน เด็กม.3เข้าใจได้ครับถ้ารู้จักฟังก์ชัน มันอาจจะดูซับซ้อนเพราะว่าเราอ่านจากตัวหนังสือ ถ้ามีคนพูดให้ฟังคงเข้าใจไม่ยากครับ

มีอีกวิธีคือนั่งไล่ครับ ต้องใช้พลังนิดนึง
ได้มาแล้วว่า $n(E)=5D_4 + 10D_3 +10D_2$
โดยที่ $D_n$ แทนจำนวนวิธีในการส่งจดหมายที่ต่างกัน n ฉบับ ลงในซองจดหมายที่ต่างกัน n ซอง โดยที่ส่งผิดซองทั้งหมด

ชัดเจนว่า $D_2=1$ (สลับซองกัน)

ต่อไปจะหา $D_3$ ให้คิดว่าเอาเลข 1,2,3 มาเรียงสับเปลี่ยนโดยไม่ให้เลขอยู่ตรงกับตำแหน่งของตัวเอง ไล่ดูจะได้ 321 กับ 231 รวม $D_3=2$

สุดท้าย $D_4$ แบ่งเป็นสามกรณีคือ เลข 1 อยู่ตำแหน่งที่ 2 หรือ 3 หรือ 4
โดยความสมมาตร แต่ละกรณีเกิดขึ้นเท่าๆกัน ดังนั้นนับกรณีเดียวพอ แล้วคูณสาม
สมมติว่า 1 อยู่ตำแหน่งที่ 2 ไล่ได้ 2143, 3142, 4123 รวม 3 แบบ
ดังนั้น $D_4=3\times 3=9$

นำไปแทนค่า $n(E)=5\times 9 + 10\times 2 +10=75$

ขอบคุณครับ คุณ3ดาว คุณ Onasdi