แบบฝึกหัดสอวน
 

1 ให้ A (-1,4)
จงพิสูจน์ว่า supA=4

2 จงแสดงว่าจำนวนนับไม่มีขอบเขตบน

งงมากๆเลยครับ ตั้งแต่นิยามอ่านก็พอมึนๆ เหมือนจะเข้าใจ พอทำโจทย์ก็เลยรู้ว่าไม่เข้าใจ
ช่วยทีครับ TT

อีกข้อนึงครับ
a,b,c เป็นจำนวนนับ จะมีc ที่ทำให้ b<ac เสมอ
ผมแบ่่งเป็น 2กรณีคือ a>b พิสุจนืได้
ว่า b<ac
แต่กรณีที่
b>a
พิสุจน์ไม่ได้ว่าทำไม
b<ac

นิยามมันว่ายังไงนะ ช่วยแปะลงมาที่กระทู้นี้หน่อย

หรือเอาไอนี่ไปดูเลยก็ได้ มันคือการใช้ประโยชน์จาก $\mathbb{R}$ มาพิสูจน์ว่า $\mathbb{N}$ มัน unbound
https://proofwiki.org/wiki/Archimedean_Principle

ลองใช้ไอเดียประมาณว่า ถ้า $c \in \mathbb{N}$ แล้ว $c$ จะมีค่าใหญ่มากพอที่ทำให้คูณกับ $a$ แล้วใหญ่กว่า $b$

คือเซตของ $\mathbb{N}$ มัน unbound เลยเลือก $c$ ที่ใหญ่พอ (sufficiently large) ได้

ถ้างงก็ให้คนอื่นอธิบายละกัน ผมไม่เก่ง analysis

ให้ $x \in \mathbb{N}$
สมมุติว่า $u$ เป็นขอบเขตบน
จากนิยามของขอบเขตบน จะได้ว่า $u\geqslant x$ (ขอบเขตบนมีค่ามากกว่าหรือเท่ากับสมาชิกในเซต)
โดยหลักของอาร์คิมีดีส จะมี $n \in \mathbb{N}$ ที่ $n>u$
ซึ่ง $n>u$ ขัดแย้งกับ $u\geqslant x$ ($n$ เป็นสมาชิกของจำนวนนับ)

$\therefore$ เซตของจำนวนนับไม่มีขอบเขตบน

ข้อ 1. เซตของขอบเขตบนคืออะไร จากนั้น นิยามของ sup คืออะไร น่าจะออกนะครับ