เกี่ยวกับยกกำลังอนันต์ตัว
 

จาก สมการ $x^{x^{x^{x^{x^{...^{\infty }}}}}} = 2$ มันจะแก้ได้ $x = \sqrt{2}$ ใช่ป่ะ

และ $x^{x^{x^{x^{x^{...^{\infty }}}}}} = 4$ มันก็แก้ได้ $x = \sqrt{2}$ เหมือนกัน

- -a สองสมการนี้มีคำตอบเหมือนกันเหรอ จากการเชคคำตอบอ่ะ สมการข้างบน มันจะมีค่าเข้าใกล้ 2 มันจะได้ 1.9999
ไปเรื่อยๆ

ส่วนสมการข้างล่าง ผมเชคยังไง มันก็ไม่ได้ 4 มันทำไงอ่ะ

ผมลอง take ln แล้วเช็คคำตอบ คำตอบก็ตรงทั้งสองสมการนี่ครับ :confused:

แล้วทำไมจำนวนเดียวกันถึงมี 2 ค่าได้ล่ะครับ :confused:

นั่นน่ะสิ - -a ทำไมมันได้สองค่าล่ะ คือผม ไม่รู้วิธีเช็ค โดยใช้วิธี take ln อ่ะ

ถ้ายังไง ขอแบบละเอียดได้มั๊ยครับ

แล้วก็ ถ้าคำตอบมันตรงทำไม ผมกด เครื่องคิดเลข แล้วมันไม่ได้ = 4 อ่ะคับ

สมการ2 ถ้าเชคแล้วไม่เท่ากับ4 แสดงว่า x ก็ต้องไม่เท่ากับรูท2 สิครับ

แสดงว่า ขากลับของสมการมันไม่จริง:eek:

GUIDE :

ลองพิจารณา domain และ range ของ $ f(x) = x^{x^{x^{x^{x^{...^{\infty }}}}}} $ (ในกรณี positive real x) ดูสิครับ (อาจจะต้องใช้แคลคูลัสช่วยนิดหน่อย)

แล้วจะพบว่า 4 ไม่ได้อยู่ใน range ของ f

ถ้าอ้างอิง จาก rep บน แล้ว (ผมเชค แคลคูลัสไม่เป็น T T)

แสดงว่า $x^{x^{x^{x^{x^{...^{\infty }}}}}} \not= 4 $ ใช่ป่ะคับ คือมันไม่มีวันเท่ากับ 4 เลย - -a

แสดงว่า มันไม่มีคำตอบใช่ป่ะ

ใช่ครับ

$x^{x^{x^{x^{x^{...^{\infty }}}}}} = 4 $ แท้จริงแล้ว ไม่มีคำตอบ

บางสิ่งต้องกำหนดก่อนว่ามันลู่เข้านะ

ปัญหาน่าคิด

จงหาจำนวนจริง x ซึ่ง
$\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+...}}}=1$

rep บน ถ้าคิดแล้ว จะได้ x = 0 แต่

เช็คแล้ว พบว่า สมการไม่เป็นจริง ดังนั้น ผมว่า ไม่มีคำตอบครับ

ผมทำแบบนี้จะถูกไหมครับ
ยกกำลัง 2 ทั้งสองข้าง จะได้
$x+\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+...}}}=1$ นั่นก็คือ
x+1=1
ได้ x=0
แต่แทนค่าในสมการ มันไม่จริงหล่ะ เอ๋ ใครตอบผมได้บ้างครับ

$$\sqrt{a(a-1)+\sqrt{a(a-1)+\sqrt{a(a-1)+...} } } = a , a\in \Re ,a>1$$

ก็เพราะทฤษฎีบทข้างต้น ตัวที่อยู่ในรากต้องมากกว่าศูนย์ จึงทำให้ a ต้องมากกว่า 1 น่ะครับ
นั่นคือถ้า a น้อยกว่าหรือเท่ากับ 1 สมการจะไม่มีคำตอบ

แถมให้อีก ทฤษฎีบท

$$\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a+...} } } =\frac{1+\sqrt{1+4a} }{2}=0.5+\sqrt{0.25+a} ,a\in \Re ^+ $$

เอาไปอีกอันแล้วกันครับ $$\sqrt{a+\sqrt{a-\sqrt{a+\sqrt{a-...}} } } =\frac{1+\sqrt{4a-3} }{2},a\in \Re ^+ $$

โทดทีเมื่อกี๊รูปเล็กครับ

ลู่เข้าเมื่อ a>1 เท่านั้นครับ

แล้วก็จากรูปของคุณ [SIL]
ถ้าหากเราไม่บอกขอบเขตของค่า a ทฤษฎีบทจะไม่เป็นจริงเลยครับ

สุดท้ายอยากบอกว่า สิ่งใดที่เป็นอนันต์ เราย่อมต้องสรุปก่อนว่าสิ่งนั้นลู่เข้า (convergent) ก่อนที่จะไปกำหนดให้มันลู่เข้าสิ่งใด