ใครคุ้นอนุกรมนี้บ้างครับ
 

5+13+35+97+275+...

หา Sn ครับ

พี่ผมบอกว่าคุ้นตัวเลข แต่ผมไม่คุ้นเลย เลยต้องมาถามเพื่อนๆในบอร์ดครับ

ขอบคุณครับๆๆๆๆ

ตัวเลขคือ $ \ \ 2^n+3^n$



$ \sum_{n = 1}^{\ n} 2^n + 3^n $



$ \sum 2^n = 2(2^n-1) $

$ \sum 3^n = \frac{3(3^n-1)}{2} $


ดังนั้น $ \sum_{n = 1}^{\ n} 2^n + 3^n = 2(2^n-1) + \frac{3(3^n-1)}{2} $

$ = \frac{1}{2} (4 \cdot 2^n -4 +3\cdot 3^n -3) = \frac{1}{2} (4 \cdot 2^n +3\cdot 3^n -7) $

ขอบคุณมากเลยครับ เหนือความคาดหมายมากครับ

จริงๆ แล้วพจน์ทั่วไปในโจทย์ข้อนี้ไม่ได้ผุดขึ้นมาเอง หรือว่าเราต้องมานั่งเดาจนกว่าจะสอดคล้องนะครับ ตัวอย่างนึงในวิธีการหาก็คือ

1. ให้ $b_n=a_{n+1}-a_n$ สังเกตว่าลำดับของ $b_n$ เป็นลำดับที่เรารู้จักหรือไม่(เลขคณิตหรือเรขาคณิต) ถ้าไม่ไปข้อ 2 ถ้าใช่ไปข้อ 3
2. ให้ $c_n=b_{n+1}-b_n$ สังเกตว่าลำดับของ $c_n$ เป็นลำดับที่เรารู้จักหรือไม่(เลขคณิตหรือเรขาคณิต) ถ้าไม่ก็ทำซ้ำไปเรื่อยๆ จนกว่าจะใช่แล้วไปข้อ 3
3. หาผลรวม $n$ พจน์แรกของลำดับของ $b_n$ ได้ว่า
$$b_1+b_2+b_3+...+b_n=(a_2-a_1)+(a_3-a_2)+(a_4-a_3)+...+(a_{n+1}-a_n)=a_{n+1}-a_1$$
เท่านี้เราก็จะได้ $a_n$ มาแล้วครับ

ปล. พจน์ทั่วไป $a_n$ ที่ได้มานี้สอดคล้องเฉพาะตัวเลขที่ปรากฏนะครับ และไม่จำเป็นต้องมีรูปแบบเดียว
เช่นลำดับ $1,2,3,...$ ตัวอย่าง $a_n$ ที่สอดคล้องคือ $n$ หรือ $(n-1)(n-2)(n-3)+n$

ขอบคุณมากครับ เปิดมุมมองได้อีกเยอะเลยครับ