|
Warm Up !
ใกล้เทศกาล สอบโอลิมปิกรอบแรกแล้ว สำหรับน้องๆ คนไหน ที่จะสอบแล้วยังรู้สึกไม่ฟิตพอ มาลอง Warm up ด้วยคำถาม ชิมลางจากหลายแหล่งที่มา ได้เลยครับ
1. หาจำนวนเต็มบวก m,n ทั้งหมดที่เป็นไปตามสมการ m2= 1!+2!+...+n! 2. มีจำนวนเต็ม n กี่จำนวน ในช่วง 1 ถึง 2005 ที่ \( \large (2\times 6 \times 10 \times...\times(4n-2)) \) หารลงตัวด้วย n! 3. สี่เหลี่ยม ABCD แนบในวงกลม โดยด้านที่สั้นสุด คือ AB ถ้า \( \huge \frac{Area \triangle BCD}{Area \triangle ABD}\) เป็นจำนวนเต็ม และ AB,BC,CD,DA เป็นจำนวนเต็มต่างกันที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ 10 หาค่ามากสุดที่เป็นไปได้ของ AB 4. หา b ทั้งหมดที่ทำให้ (x,y) เป็น real solutions ของระบบสมการ \[\huge \sqrt{xy}=b^{b} \] \[\huge log_{b}(x^{log_{b}y})+ log_{b}(y^{log_{b}x}) =4b^{4} \] 5. ให้ k เป็นจำนวนนับ พิสูจน์ว่า จะมี จำนวนเต็มบวก n ซึ่ง \(\huge k=\frac{1+\sqrt{8n-7}}{2} \) 6. ให้ P เป็นจุดบนด้าน BC ของสามเหลี่ยม ABC และ PC=2BP และมุม ABC=45 องศา และมุม APC= 60องศา หาขนาดมุม ACB 7. กำหนด f(x)=x4+ax3+bx2+cx+d โดย a,b,c,d เป็นจำนวนจริง ถ้า y=2x-1 ตัด f(x) ที่ x=1,2,3 หา f(0)+f(4) 8. หาค่า x2+y2+ z2 เมื่อ x,y,z เป็นจำนวนนับ และ \[\large 7x^{2}-3y^{2}+4z^{2}=8 \] \[\large 16x^{2}-7y^{2}+9z^{2}=-3 \] 1. m=n=1 และ m=n=3 2. ทุก n ตั้งแต่ 1 ถึง 2005 3. 5 4. \(\large (0,\frac{1}{\sqrt{2}}] \) 6. 75 องศา 7. 30 8. 165 ระดับความยากของ 8 ข้อนี้ ก็ยังไม่ถึงขั้น hard core ซักเท่าไหร่ เอาไว้ให้น้องๆอุ่นเครื่องเฉยๆ นะครับ สุดท้าย อยากขอความเห็น พี่ๆ เพื่อนๆ น้องๆ น่ะครับ คือ ผมกลัวว่า สุดท้ายก็จะมีแต่พี่ๆ เพื่อนๆ มือ pro มาถามเอง อธิบายเอง อย่างเคย ถ้าเป็นไปได้ อยากให้บทบาทในส่วน ของพี่ๆมือโปรทั้งหลาย ที่เลยช่วงมัธยมมาแล้ว ทำหน้าที่เฉพาะตั้งคำถาม หรือหาคำถามมาเพิ่ม ส่วนหน้าที่ตอบคำถาม เอาไว้ให้น้องๆ มัธยม ซึ่งถ้าน้อง ติดขัดข้อไหน หรือจะ show วิธีทำข้อไหน พี่ๆอย่างเราๆค่อยมีหน้าที่ ตรวจสอบหรือแนะนำเพียงอย่างเดียว จะดีกว่ามั้ยครับ |
ได้ครับ หากพี่ๆคิดไม่ออกหรือสงสัยข้อไหนก็ pm กันเองละกันนะครับ
เสริมให้อีกสองข้อ สำหรับคออสมการครับ 9. จงหาค่าสูงสุดของ \(\sqrt[\displaystyle{n}]{n}\) เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก 10. จงหาค่าของ \[1+\frac{1}{\sqrt[4]{2}}+\frac{1}{\sqrt[4]{3}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt[4]{10^{12}}} \] |
ข้อ 1 ใช้ mod 5
ตอนนี้ข้อที่ทำได้แล้วก็มี 1,4,5,6,7,8,9 นะครับ ที่เหลือจะพยายามทำ ถ้าว่างจะมาโพสวิธีทำครับ |
:eek: :eek: :eek:
สมเป็นบอส ทำได้เยอะมากๆๆ ... :D ตัวข้าพเจ้าเองทำได้เพียงข้อเดียวเอง :mad: |
เยี่ยมไปเลยครับ สำหรับน้อง Char Aznable แล้วจะรอดูวิธีทำนะครับ
สำหรับข้อ 3 เผื่อใคร ไม่ get โจทย์ ผมได้แก้ไข syntax บางส่วน แล้ว ลองกลับไปดูอีกทีนะครับ แล้วก็ ต่อด้วย ข้อ 11-16 ครับ 11. ถ้า A แทนเซตของจำนวนเต็ม ในช่วง 1 ถึง 2004 ที่ทำให้อสมการ\[ \large \bigg \vert \frac{nx}{2004}-1 \bigg \vert < \frac{n}{2004} \] มีคำตอบเป็นจำนวนเต็ม แค่ 2 จำนวนต่างกัน หา n(A) 12. หาค่า \[\large \sum_{n=1}^\infty \arctan \frac{2}{n^{2}} \] 13. หาคำตอบสมการ tan22x=2tan2xtan3x+1 14. หาจำนวนเต็มบวก a,b ที่สอดคล้องกับ a2- b2= b+1 15. ให้ an เป็นลำดับของจำนวนเต็ม โดย an-1+an=3n (nณ2) ถ้า a1=100 หา a1000 16. หากไม่ใช้ เครื่องคิดเลข เลข 5 ตัวนี้ ตัวใด มากสุด \[\huge log_{2}3 \quad log_{3}5 \quad \sqrt{2} \quad \sqrt[3]{3} \quad 1.5\] ไม่ยากเลยใช่มั้ยครับ ;) |
ไม่ยากมากครับครั้งนี้ ไว้ครั้งหน้าหากกระแสตอบรับดีพอจะลองหาโจทย์การนับมาให้ทำกันครับ
17. ต่อด้าน AB และ AC ของสามเหลี่ยม ABC ไปทาง B และ C ตามลำดับ จากนั้นสร้างวงกลมสัมผัสด้าน BC และด้านที่ต่อไปทั้งสองด้าน ให้จุดศูนย์กลางของวงกลมนี้เป็น P หากมุม BAC มีขนาด 44 องศา จงหาขนาดของมุม BPC 18. จงแสดงว่า a) \(100|7+7^2+\cdots+7^{2004}\) b) \(186|5+5^2+\cdots+5^{150}\) 19. ให้จุด D อยู่บนด้าน AB ของสามเหลี่ยม ABC โดยที่จุด D อยู่ใกล้จุด A ให้จุด E อยู่บนส่วนของเส้นตรง DB และนอกจากนั้นให้ AD=DE=DC=CA, EC=EB จงหาขนาดของมุมภายในทั้งหมดของสามเหลี่ยม ABC 20. จงแก้(อ)สมการต่อไปนี้ a) \(log_{x}(2.5-\frac{1}{x})>1\) เมื่อ x เป็นจำนวนจริง b) \(sin(\frac{\pi}{3}(x-\sqrt{x^2-3x+2}))=0\) เมื่อ x เป็นจำนวนเต็ม 21. จงหาจำนวนเต็มบวก n ที่น้อยที่สุดที่ทำให้ \(2^{2548}|n!\) Edit1: แก้โจทย์ข้อ 19 ครับ |
เย้ ได้เพิ่มอีกข้อแล้ว (แหะๆ) ขอลองทำ ข้อ 4 นะครับ พวกพี่ๆช่วยตรวจทานด้วยก็ดีนะครับ :D
\( \displaystyle{\begin{array}{rcl} จาก &\sqrt{xy}&=&b^b\\take\ log\ \therefore &log_b(xy)&=&2b&...(1) \end{array}} \) จากตรงนี้จะได้ b > 0 (b เป็นฐาน log ต้องไม่ใช้ 0) ซึ่งจะทำให้ค่า bb เป็นบวกแล้ว ึxy หาค่าได้ \( \displaystyle{\begin{array}{rcl}โจทย์&log_bx^{log_by}+log_by^{log_bz}&=&4b^4\\ ย้ายตัวยกกำลัง&(log_by)(log_by)+(log_bx)(log_by)&=&4b^4\\&(log_by)(log_by)&=&\frac{1}{2}(4b^2)b^2\\แทนจาก\ \ (1)&\frac{log\ y}{log\ b}\frac{log\ y}{log\ b}&=&\frac{1}{2}\big(\frac{log\ xy}{log\ b}\frac{log\ xy}{log\ b}\big) b^2\\&b^2&=&\frac{2(log\ x)(log\ y)}{(log\ xy)(log\ xy)} \end{array}} \) ให้ A แทน log x และ B แทน log y \(จะได้\ \ \frac{2(log\ x)(log\ y)}{(log\ xy)(log\ xy)}=\frac{1}{2}\big(\frac{\sqrt{AB}}{\frac{A+B}{2}}\big)^2 \quad\leq\quad \frac{1}{2}\quad (จาก A.M-G.M)\) \( \displaystyle{\begin{array}{rcl}จะได้ &b^2&\leq&\frac{1}{2}\\ \therefore&b&\leq&\frac{\sqrt{2}}{2} \end{array}} \) \(\displaystyle{\largeดังนั้น คำตอบคือ\ \ b \in \bigg(0,\frac{\sqrt{2}}{2}\bigg]} \) :D |
ขอต่อด้วย ข้อที่ 15 นะครับ
ย้ายข้างไปเป็น \( \displaystyle{a_n=3n-a_{n-1}} \) \(\displaystyle{\begin{array}{rcl}a_{1000}&=&3(1000)-a_{999}\\&=&3(1000)-(3(999)-a_{998})\\&=&3(1000)-(3(999)-((...3(2)-a_1)...)))\\&=&3(1000-999+998-997+...+2)-a_1\\&=&3(50 1)-100\\&= &1403 \end{array}} \) |
ข้อ 15 ถูกแล้วครับ ส่วนข้อ 4 วิธีทำของน้องน่าสนใจดีครับ แต่ขอเสริมนิดหน่อย ตอนที่น้องใช้ AM-GM รวมทั้งก่อนหน้านั้น น่าหวาดเสียวเล็กน้อยว่าจะเจอการหารด้วยศูนย์(โชคดีที่ข้อนี้ไม่เจอ เพราะ b>0, bน1) สำหรับวิธีที่ง่ายกว่าและไม่ปวดหัวกับการหารด้วยศูนย์เป็นดังนี้ครับ
จากโจทย์จะได้ \(log_bx\cdot{}log_by=2b^4\) และ \(log_bx+log_by=2b\) ซึ่งจะได้ \(log_bx-log_by=\pm\sqrt{4b^2-8b^4}\) ในรากต้องมากกว่าหรือเท่ากับศูนย์ และ b ไม่เท่ากับ 0 แก้อสมการ \(4b^2-8b^4\ge0\) ก็จะได้คำตอบที่ต้องการครับ |
คุณ nongtum อธิบายแทนผมไปเกือบหมดแล้ว สำหรับข้อ 4,15 Thanks you so much
จะมีเพิ่มเติมอีกนิด ก็คือ ข้อ 4 ของน้อง Tummykung นอกจาก อาจเสี่ยงกับการหารด้วย 0 แล้ว ต้องระวัง A,B ติดลบด้วยนะครับ เพราะถึงแม้ x,y เป็นบวก แต่ log x, log y อาจเป็นลบ และทำให้ ใช้ AM-GM inequality ไม่ได้ ติเพื่อก่อ นะครับน้อง อย่าคิดมากนะ :) รู้สึกว่ายังขาดคำถามเกี่ยวกับเมตริกซ์ งั้นผมแถมให้ 1 ข้อแล้วกัน 22. กำหนด \[ \large A= \bmatrix{-4x+9 & -2x+6 & -2x-1 \\ 6x-11 & 2x-5 & 2x+5 \\ -2x+2 & -1 & x-2}\]หาผลบวกค่า x มากสุด 2 จำนวนแรก ที่ทำให้ เมตริกซ์ A เป็น singular matrix ถ้า feedback ดี คงมีโจทย์ระลอกต่อไปให้ Warm up กันต่อ |
ข้อ 11 จัดรูปสมการจะได้ 2004/n-1<x<2004/n+1 ถ้า2004หารด้วยnลงตัวจะมีคำตอบเพียงคำตอบเดียว ดังนั้นคำตอบคือจำนวนที่หาร2005ไม่ลงตัวทั้งหมด ซึ่งมีทั้งหมด
f(2004)= 1500 จำนวนครับ ข้อ 13 จัดรูปสมการใหม่จะได้ (1+tan 2x tan3x)(1+tan x tan 2x )=0 ซึ่งเมื่อคิดแยกแต่ละอันแล้วไม่มีคำตอบ ข้อ 14 ถ้า aฃb จะได้ b+1=a2-b2ฃ0 เป็นไปไม่ได้ ดังนั้น a>b จะได้ b+1=a2-b2=(a-b)(a+b)>(a-b)(b+1) จะได้ (a-b-1)(b+1)<0 ซึ่งเป็นไปไม่ได้ ดังนั้นสมการนี้ไม่มีคำตอบที่เป็นจำนวนเต็ม |
ข้อ 2 พิจารณา จากโจทย์จัดรูปใหม่จะได้(2×6×10×...×(4n−2))/n! =2n!/n!n! = C(2n,n) ซึ่งเป็นจำนวนเต็มเสมอ นั่นคือ ทุกจำนวนนับ n ; n!หาร(2×6×10×...×(4n−2))ลงตัวเสมอครับ
ข้อ 3 จากสมบัติของพท.สามเหลี่ยมจะได้ AB*DAหารBC*CDลงตัว จากการไล่ค่าABที่เป็นไปได้ จะได้ABที่มากที่สุดคือ AB = 5ครับ ข้อ 4 ผมทำแบบเดียวกับพี่ nongtum ครับ ข้อ 5 เลือก n = k(k+1)/2+1 ข้อ 6 ผมใช้ตรีโกณมิติไล่หาด้านต่างๆในรูปของด้าน BP แล้วหาtan ะACB ได้ (ึ3+1)/2ึ2 จะได้มุมACB= 75ฐ ข้อ 7 ให้g(x)=f(x)-(2x+1) จะได้ g(1)=g(2)=g(3)=0 แต่g(x)มีดีกรี4 ดังนั้น g(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-k) จะได้ g(0)+g(4)=6k+(24-6k)=24 ดังนั้นf(0)+f(4)=g(0)+g(4)-1+7=30 ข้อ 8 กำจัดตัวแปรทิ้งแล้วไล่ค่าตัวแปรอีก2ตัวที่เหลือ จะได้คำตอบคือ (+-4,+-7,+-10) จะ ได้ x2+y2+z2=165 ข้อ 9 ค่ามากสุดคือ 31/3 พิสูจน์โดยใช้ inductionครับ ที่เหลือถ้ามีเวลาจะมาโพสต่อครับ ปล.ผมสงสัยข้อ19อะครับ รบกวนพี่nongtumช่วยวาดรูปให้ดูหน่อยครับผมได้ECกับCBเป็นด้านเดียวกันครับ ไม่แน่ใจว่าใช่รึป่าวครับ |
แก้โจทย์ข้อ 19 แล้วครับ (คงไม่ต้องวาดรูปให้ดูนา) รีบพิมพ์ไปนิด
ส่วนข้อเก้าน้องตอบถูกแล้วครับ แล้วจะมาขยายความทีหลัง ส่วนคำถามในส่วนที่คุณ Passer-by ตั้ง ขอเวลาเช็คแป๊บนึงครับ |
ข้อ 11 ตรงนี้อะครับ
\[\frac{2004}{x}-1<x<\frac{2004}{x}+1 \] ซึ่งคำตอบ คือจำนวนของจำนวนที่ไปหาร 2004 แล้วไม่ลงตัวใช่ไหมครับ ซึ่งผมคิดว่าไม่น่าจะใช่ \( \displaystyle{\phi(2004)} \) นะครับ (อีกอย่างผมได้ \( \displaystyle{\phi(2004)} \) = 664) เพราะว่า \( \displaystyle{\phi(2004)} \) คือจำนวนที่ ห.ร.ม. กับ 2004 แล้วได้ 1 ใช่ไหมครับ ในจำนวนนี้ไม่ได้รวมถึงจำนวนที่หารไม่ลงตัวแต่ ห.ร.มเป็นตัวอื่นด้วยครับ เช่น 8 รวมอยู่ด้วย \( \displaystyle{\phi(2004)} \) แต่ว่าไปหาร 2004 ไม่ลงตัว ทำให้ได้ x สองค่าเช่นกันครับ \( \displaystyle{2004\ =\ 2^2\times3\times167}\) ผมคิดว่าน่าจะเป็น 2004 - (2+1)(1+1)(1+1) = 1992 ครับ :D ปล.ขอบคุณสำหรับการตรวจทานและข้อเสนอแนะของทุกๆคนครับ (ปกติก็ไม่คิดมากอยู่แล้ว อิอิ :D ) แล้วก็ขอทึ่งในความสามารถของคุณ Char Aznable อีกครั้งครับ :eek: :eek: :eek: |
ข้อที่ 19 ใช้มุมในสามเหลี่ยม 2 ครั้ง ได้ \( \displaystyle{\widehat A\ =60^\circ\quad,\widehat B\ =15^\circ\quad,\widehat C\ =105^\circ} \)
ข้อที่ 22 ผมจัดรูปธรรมดา (เอาแถวสามคุณ 2 แล้วไปลบกับ แถวที่ 1 ..ไม่แน่ใจว่าเขียนว่า R1-2R3 รึเปล่า) แล้วหา det ตรงๆ ได้สมการคือ \[ 4x^3-12x^2-19x+42=0\] ได้ \( x\ =\ -2,\frac{3}{2},\frac{7}{2} \) ผลบวกของสองจำนวนที่ มากที่สุดคือ \( \frac{3}{2}+\frac{7}{2}\ =\ 5\ \ \) ครับ :D |
| เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 13:39 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha