ข้อสอบ PRE-TEST P6
ยากจังเลย 120 นาที 80 ข้อ เนี่ย ฝนยังไม่ทันเลย:tired:
1.จงหาเศษ จากการ หาร$1+2^2+3^3+...2009^{2009}$ด้วย 10 2.ให้$2^m=3,3^a=4,4^i=5,5^t=6,6^i=7และ7^e=8$ ค่าของ$maitre$เป็นเท่าไร 3.$123456789101112...8889\div 90$เศษเท่าไร |
ขอบคุณสำหรับข้อสอบครับ
ข้อ1.ไปดูหลักหน่วยที่เกิดจากการยกกำลังแล้วนำมาบวกกัน(หารูปแบบของมันจะพบว่ามันซ้ำกัน) ถ้าบวกและคูณไม่ผิดตอบ7ครับ ข้อ2.ใช้ความรุ้เรื่องเลขยกกำลังและสมการก็จะตอบ3ครับ ข้อ3.สังเกตว่าถ้าเรียงกันจนถึง90ก็จะหารลงตัวดังนั้นเศษข้อนี้คือ9ครับ รบกวนท่านอื่นตรวจสอบให้ด้วยครับ |
เพิ่มเติมรายละเอียดข้อ3.หน่อยครับกลัวน้องๆบางคนจะเข้าใจผิด
1234...90หารด้วย90ลงตัวไม่ใช่เพราะลงท้ายด้วย90แต่เป็นเพราะ 1234...90มีผลรวมของเลขโดดเท่ากับ945ซึ่งหารด้วย9ลงตัวแล้วยังลงท้ายด้วย0 จึงสรุปได้ว่าหารด้วย90ลงตัวครับ..สำหรับ1234...89เมื่อหารด้วย90ก็จะต้องเหลือเศษ9 เพราะเมื่อต่อด้วย90จะเป็น990ซึ่งหารด้วย90ลงตัวตามที่กล่าวแล้วข้างต้นครับ |
อ้างอิง:
$(2^m)^{aitre}=3^{aitre}$ $2^{maitre}=(3^a)^{itre}$ $ \ \ \ \ \ \ \ =(4)^{itre}$ $ \ \ \ \ \ \ \ =(4^i)^{tre}$ $ \ \ \ \ \ \ \ =(5)^{tre}$ $ \ \ \ \ \ \ \ =(5^t)^{re}$ $ \ \ \ \ \ \ \ =(6)^{re}$ $ \ \ \ \ \ \ \ =(6^r)^e$ $ \ \ \ \ \ \ \ =(7)^e$ $ \ \ \ \ \ \ \ = 8 $ $ \ \ \ \ \ \ \ = 2^3 $ $ \ maitre = 3 $ |
อ้างอิง:
เอาแบบประถมนะครับ ผลรวมเลขโดด 123456789101112 ........ 8889 = 765 ซึ่งหารด้วย 9 ลงตัว ผลรวมเลขโดด 123456789101112 ........ 8880 = 756 ซึ่งก็หารด้วย 9 ลงตัว แสดงว่า 123456789101112 ........ 8880 หารด้วย 9 ลงตัว $\dfrac{123456789101112 ........ 88 \color{red}{80} +9}{9} = (abcd.....z0 +1) = (abcd......z1) $ <---- ผลลัพท์ลงตัวมีหลักหน่วยเป็น 1 ดังนั้น $\dfrac{123456789101112 ........ 8889}{9 \times 10} = \dfrac{abcd......z1 }{10} = \dfrac{abcd......z0}{10} + \dfrac{1}{10}$ <--- เศษ 1 ดังนั้น $123456789101112...8889 \div 90$ จะเหลือเศษ เป็น 1 |
มาดูอีกที
ถ้า $123456789101112...8889 \div 90$ เหลือเศษ เป็น 1 จริง ก็แปลว่า $(123456789101112...8889-1) \div 90$ = $123456789101112...8888 \div 90$ จะเหลือเศษ เป็น 0 ?? ชักงงแฮะ ผิดตรงไหนหรือเปล่าหว่า ? |
เข้าใจแล้วครับ ต้องตอบเหลือเศษ 9x1 = 9
เดี๋ยวว่างแล้วจะมาอธิบาย |
ดูตัวอย่างนี้ก่อนครับ
$\dfrac{3888}{9} = 432$ $\dfrac{3888}{90} = 43.2 \color{red}{\not= 43} \ \ \color{red}{เศษ 2}$ $\dfrac{3888}{90} \not= 43 + \dfrac{2}{10}$ แต่หมายถึง $\dfrac{3888}{90} = 43 + \dfrac{2 \times 9}{10 \times 9}$ ดังนั้นข้อข้างต้น ผิดตรงนี้ครับ ดังนั้น $\dfrac{123456789101112 ........ 8889}{9 \times 10} = \dfrac{abcd......z1 }{10} = \dfrac{abcd......z0}{10} + \dfrac{1}{10}$ <--- เศษ 1 ต้องเป็นแบบนี้ครับ $\dfrac{123456789101112 ........ 8880+9}{9 \times 10} = $ \(\overbrace {abcd......z }^{ผลหาร}\) + \(\overbrace { \dfrac{ 9}{9\times 10}} ^{เศษ} \) <--- เศษ 9 |
จากวิธีคุณ banker สามารถมองได้อีกแบบครับ
เราเห็นว่า 9 หาร 123456789101112 ........ 8880 ลงตัว ซึ่ง 10 ก็หารมันลงตัวเช่นกัน ดังนั้น 123456789101112 ........ 8880 หารด้วย 90 ลงตัวครับ นั่นก็แปลว่า 90 หาร 123456789101112 ........ 8889 เหลือเศษ 9 ครับ |
อ้างอิง:
คิดไงอ่า :died::died::died: |
อ้างอิง:
:aah: |
อ้างอิง:
1+2+3+4+5+6+7+8+9+(1+0)+(1+1)+(1+2)+...+(8+8)+(8+9) มีเศษจากการหารด้วย 9 เช่นเดียวกับ 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+...+88+89 ซึ่งเท่ากับ 89x90/2 ซึ่งหารด้วย 9 ลงตัว หรือจะหาค่าของ 1+2+3+4+5+6+7+8+9+(1+0)+(1+1)+(1+2)+...+(8+8)+(8+9) ตรงๆก็ได้ครับ ก็ต้องนับว่าเลข 1-89 มีเลขโดดเป็น 1 กี่ตัว 2 กี่ตัว เช่น 1 เกิดในหลักหน่วย 9 ครับ เกิดในหลักสิบ 10 ครั้ง รวม 19 ครั้ง ประมาณนี้ครับ |
อ้างอิง:
แล้วข้อนี้ทำไงอ่า :nooo: อ้างอิง:
|
ใช่แล้วครับ ได้ 765 จริงๆแล้วไม่ต้องหามาเป็นตัวเลขก็ได้ครับ แค่เช็คว่า 9 หารเหลือเศษเท่าไหร่ก็พอ
เรารู้ว่า 1-8 ปรากฎเท่าๆกัน และ 9 ปรากฎ 9 ครั้ง ได้ = (1+2+3+...+8)*n+9*9 ซึ่ง 9 หารลงตัว [จับคู่ 1+8,...] ข้อนี้ผมคงถึกเอาครับ คือ พวกที่ลงท้ายด้วย 1 (1,11,21,...) จะมีหน่วยเป็น 1 ไม่ว่าจะยกกำลังอะไร พวกที่ลงท้ายด้วย 2 จะมีหลักหน่วยเป็น 2,4,8,6 ขึ้นอยู่กับเลขชี้กำลัง [เอาเลขชี้กำลังมา mod 4] จะได้ 4 6 4 6 ... พวกที่ลงท้ายด้วย 3 จะมีหลักหน่วยเป็น 3,9,7,1 ขึ้นอยู่กับเลขชี้กำลัง [เอาเลขชี้กำลังมา mod 4] จะได้ 7 3 7 3 ... ประมาณนี้ |
อ้างอิง:
ก็เลยยังไม่ได้แสดงวิธีทำ หลักการก็คือหาหลักหน่วยของแต่ละพจน์มารวมกัน ได้หลักหน่วยเป็นอะไร ก็ตอบตัวนั้น มีบางตัวที่รักเดียวใจเดียว ยกกำลังเท่าไรก็ยังให้ผลเท่าเดิม หลักหน่วย 1 ยกกำลังอะไร ก็มีหลักหน่วยเป็น 1 หลักหน่วย 5 ยกกำลังอะไร ก็มีหลักหน่วยเป็น 5 หลักหน่วย 6 ยกกำลังอะไร ก็มีหลักหน่วยเป็น 6 หลักหน่วย 10 (0) ยกกำลังอะไร ก็มีหลักหน่วยเป็น 0 ส่วนหลักหน่วยเลข 9 ถ้าเลขชี้กำลังเป็นคี่จะมีหลักหน่วยเป็น 9 ถ้าเลขชี้กำลังเป็นคู่ หลักหน่วยเป็น 1 ดังนั้น $9^9 + 19^{19} + 29^{29} + 1999^{1999}$ มีจำนวนเป็นคู่ 1+9 = 10 หลักหน่วยรวมกันแล้วก็ลงท้ายด้วย 0 เหลือตัวสุดท้าย $2009^{2009}$ เลขชี้กำลังเป็นคี่ จึงลงท้ายด้วย 9 5 ตัวข้างต้น รวมหลักหน่วยได้ 1 + 5 + 6 + 0 +9 ลงท้ายด้วย 1 ........(*) ที่เหลือคือ 2 2 ยกกำลังแล้ว $2^2 \ \ 12^{12} \ \ 22^{22}$ จะลงท้าย วนไปมาระหว่าง 4 กับ 6 ซึ่งรวมกันเท่ากับ 10 (หลักสิบเลขคู่ลงท้าย 4 หลักสิบเลขคี่ ลงท้าย 6) ตั้งแต่ 2 ถึง 1992 มีจำนวนเป็นคู่ เมื่อเอาหลักหน่วยมารวมกัน 4+6 = 10 จะลงท้ายด้วย 0 เหลือตัวสุดท้าย $2002^{2002}$ หลักสิบเลขคู่ ดังนั้นหลักหน่วยลงท้ายด้วย 4 เลข 3 หลักหน่วยเลข 3 ก็เหมือนหลักหน่วยเลข 2 คือ หลักหน่วย 3 ยกกำลังแล้ว หลักหน่วยที่ได้จะวนไปวนมา ระหว่าง 3 กับ 7 ซึ่งก็รวมกันเท่ากับ 10 เช่นเคย เลขชี้กำลังหลักสิบเป็นคี่ ลงท้ายด้วย 3 หลักสิบเป็นคู่ ลงท้ายด้วย 7 $2003^{2003}$ ลงท้ายด้วย 7 เลข 4 หลักหน่วย 4 ยกกำลังตัวเอง ก็จะลงท้ายด้วย 6 เสมอ 4 ถึง 2004 มี 201 จำนวน เมื่อรวมกันก็ลงท้ายด้วย 6 เลข 7 แบบเดียวกัน วนไปวนมาระหว่าง 3 กับ 7 ซึ่งรวมกัน = 10 หนึ่งร้อยคู่ ก็ลงท้ายด้วย 0 ตัวสุดท้าย $2007^{2007} $ หลักหน่วยลงท้ายด้วย 3 เลข 8 หลักหน่วยก็วนไปวนมาระหว่าง 4 กับ 6 เหมือน 2 สุดท้าย $2008^{2008}$ ลงท้ายด้วย 6 บทสรุป จาก(*) 1 เลขลงท้าย 2 รวมแล้วได้เลขหลักหน่วยเป็น 4 เลขลงท้าย 3 รวมแล้วได้เลขหลักหน่วยเป็น 7 เลขลงท้าย 4 รวมแล้วได้เลขหลักหน่วยเป็น 6 เลขลงท้าย 7 รวมแล้วได้เลขหลักหน่วยเป็น 3 เลขลงท้าย 8 รวมแล้วได้เลขหลักหน่วยเป็น 6 1 + 4 + 7 + 6 + 3 + 6 =27 ดังนั้น หลักหน่วยของ $1+2^2+3^3+...2009^{2009}$ คือ 7 เศษ จากการ หาร$1+2^2+3^3+...2009^{2009}$ ด้วย 10 คือ 7 ข้อนี้ถ้าใช้มดช่วย น่าจะสั้นกว่านี้ :D หมายเหตุ (มด $= mod = \ \ \equiv $) |
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 12:41 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha