Linearly independent in space C[a,b]
 

ช่วย HINT หน่อยนะคับ
Show that {x_1,x_2,...,x_n}, where x_j(t) =t^j, is linearly independent set in the space C[a,b].
Note. C[a,b] is set of all continuous function on [a,b].

คือยังนึกไม่ออกว่า จะใช้ความเป็น cont. เพื่อทำให้ scalar ทุกตัวเป็น 0 อ่าคับ
ขอบคุณล่วงหน้าคับ ^_^

ใช้คุณสมบัติของพหุนามใน R[x] ก็น่าจะพอแล้วนะครับ

ถ้า $ \sum_{i=1}^n c_it^i = 0 \,\, ,\forall t \in [a,b] $

แปลว่าพหุนามมีรากอนันต์ราก นั่นคือทุก t ใน[a,b]

แสดงว่า พหุนามซ้ายมือต้องเป็น zero polynomial

อ่อ ขอบคุณมากๆคับ แต่ว่ายังเอะใจกับ C[a,b] อะไร ว่าจะใช้ความเป็น continuous ตรงไหน
ปล. พอดีเป็นการบ้านในวิชา functional Analysis อะคับ

มันอาจจะสื่อแค่ สมาชิกใน set นี้เป็นส่วนหนึ่งของ C[a,b] หรือเปล่าครับ อาจจะไม่ต้องอ้าง continuous properties ก็ได้

แต่ถ้าอยากใช้ มันก็มีวิธีอ้อมโลกมากๆวิธีนึง คือใช้ lemma นี้ครับ

ถ้า $ f,g $ continuous ใน [a,b] และ $ f(x) = g(x) ,\,\, \forall x \in S $ โดย $ S$ dense in [a,b] แล้ว $ f(x) = g(x) \,\, , \forall x \in [a,b] $

แล้วมันจะสรุปเหมือนกรณีที่ผม prove ไปแล้วว่า พหุนามซ้ายมือ (f) คือ zero polynomial (g)

(ตัวอย่างเซต S ที่ dense ใน [a,b] เช่น $ Q \cap [a,b] $)

ใช้ Wronskian matrice ในการตรวจสอบได้มั้ยครับ??

คือ เขาพิจารณาใน C[a,b] ครับ เลยใช้ wronskian ไม่ได้

แต่ถ้าเพิ่มเงื่อนไข differentiable อันดับต่างๆได้ ก็ไม่มีปัญหาครับ