|
IMO 56th 2015, Chiang Mai
|
ทำไมเขาชอบเอา Geometry มาลงข้อสามอ่ะครับ - -" เห็นแล้วสงสารคนชอบเรขา :haha:
|
อัพโหลดครบสองวันแล้วครับ ใครใคร่แชร์ใคร่แสดงฝีมือ เชิญได้เลยครับ
|
หาค่า $f(0)$ ได้ไม่ยากว่า $f(0)=0,2$ กรณี $f(0)=2$ จะได้ $f(f(x))=f(x)+2x-2$ เเทน $y=1$ ในสมการาเริ่มต้นได้ว่า $f(x+f(x+1))=x+f(x+1)$ take $f$ ได้ว่า $$f(x+f(x+1))+2(x+f(x+1))-2=f(f(x+f(x+1)))=f(x+f(x+1))$$ เเก้สมการไม่ยากจะได้ว่า $f(x)=2-x$ กรณี $f(0)=0$ จะได้โดยง่ายว่า $f(f(x))=f(x)$ เเละพิสูจน์ได้ไม่ยากว่า ไม่มี $a\not=0$ ที่ $f(a)=0\rightarrow f(1)\not=0$ พบว่า เเทน $x,y$ ด้วย $f(y)-x,x$ ตามลำดับได้ว่า $$f(f(y)-x+f(y))+f(x(f(y)-x))=2f(y)-x+xf(f(y)-x)$$ จากนั้นเเทน $x$ ด้วย $f(x+y)-x$ ในสมการข้างบน เเละบวกด้วย $f(xy)+yf(x)$ทั้งสองข้าง $$yf(x)+\Big(f(xy)+f(x+f(x+y))\Big)+f(x(f(x+y)-x))=\Big(x+f(x+y)+yf(x)\Big)+f(xy)+(f(x+y)-x)f(x)$$ ตัดค่าที่อยู่ในวงเล็บใหญ่จากสมการเดิมเเละ เเทน $x$ ด้วย $f(x+y)$ จะได้ว่า $yf(x+y)=f(yf(x+y))$ จากนั้นเเทน $x$ ด้วย $x-y$ จะได้ $yf(x)=f(yf(x))$ จากนั้นเเทน $x,y$ ด้วย $1,\dfrac{y}{f(1)}$ ตามลำดับ จะได้ $f(x)=x$ ปล.ตอนนี้คิดได้ข้อเดียวก็ดีใจเเย่เเล้วครับ :haha: ปล2. ผมงงโจทย์ข้อ 6 อ่ะครับ $N$ นี่เกี่ยวไรด้วย |
เหมือนจะเป็นอีกวิธีที่ไม่เหมือนกับผู้เข้าแข่งขันคนใดเลยนะครับเนี่ย รวมทั้ง official solution ด้วย
เยี่ยมครับ ได้ 7 คะแนนเต็ม :great: ป.ล. Case $f(0)=0$ สามารถพิสูจน์ได้ไม่ยากครับว่า $f(1)=1$ |
จริงๆแล้วโจทย์ข้อ 4,5,6 ควรจะเป็นโจทย์อีกชุดนึงครับ
แต่เนื่องจากเกิดความผิดพลาดทางเทคนิค ทาง Jury จึงเปลี่ยนโจทย์ออกมาเป็นอย่างที่เห็น ซึ่งข้อ 5 นี้เข้าทางเด็กไทยมากทำกันได้เยอะเลยในขณะที่ทีมระดับ TOP10 พลาดข้อนี้กันไปเยอะ |
งี้แสดงว่าที่ลือๆใน AoPS ก็มีมูลนะสิครับ
|
ขอบคุณครับ ผมก็ทราบมาว่าข้อสอบวันที่สองเดิมรั่วจึงต้องเปลี่ยน
รบดวนอธิบายข้อที่ 6 ทีครับ ผมไม่เข้าใจจริงๆ |
อยากรู้คะแนนทีมไทยจังเลยครับ :D
|
อ้างอิง:
|
อ้างอิง:
พิสูจน์ได้โดยง่ายจากการเเทน $y=0$ ในสมการเริ่มต้นได้ว่า $f(x+f(x))=x+f(x)$ เเทน $x$ ด้วย $f(x)$ ทำให้ได้ $f(2f(x))=2f(x)$ จากนั้น เเทน $x$ ด้วย $x-y$ จะได้ $$f(x-y+f(x))+f(y(x-y))=x-y+f(x)+yf(x-y)$$ เเล้ว เเทน $x$ ด้วย $y+f(x)$ ได้ว่า $$2f(x)+f(yf(x))=f(2f(x))+f(yf(x))=2f(x)+yf(x)\rightarrow f(yf(x))=yf(x)$$ จึงได้ $f(x)=x$ ตามต้องการ |
อ้างอิง:
$$f\big(f(x)+f(y+f(x))\big)+f(yf(x))=f(x)+f(y+f(x))+yf(x)$$ |
อ้างอิง:
$f(x-y+f(x))+f(y(x-y))=x-y+f(x)+yf(x-y)$ สมการนี้ครับ ก็จะได้ตามที่พิมพ์มาแหละครับ ------------------------------------------------------------------ # คุณจูกัดเหลียง ถ้าผมชมว่า solution สวยมาก ตอนนี้ยังสายไปไหมครับ :laugh: Edit ที่ 2 สมการสุดท้ายที่เอาไว้สรุปคำตอบ $f(yf(x))=yf(x)$ สมการนี้แทน $x=1$ ต้องอ้างผลจาก $f(1)=1$ ด้วยครับ (ซึ่งหาได้จาก $f(-1)=-1$ มั้งถ้าจำไม่ผิดครับ) นอกนั้นจากที่อ่านๆดูยังไม่มีที่ผิดครับ :great: ส่วน Edit ที่ 1 ถ้าผิดเฉพาะตรงสีแดงๆ ลองแทน $x$ ด้วย $-f(x+y)$ ใน original ดูครับ จะได้ $f(-yf(x+y))=yf(-f(x+y))$ แล้วแทน $x$ ด้วย $x-y$ ในสมการล่าสุด จะได้ $f(-yf(x))=yf(-f(x))$ แทน $x=1$ แล้วใช้ผลของ $f(-1)$ กับ $f(1)$ มาสรุปได้เลย ถ้าส่วนข้างบนของคุณจูไม่มีอะไรพลาดแก้ตามข้างบนก็ได้ครับ ถือว่าคุณจูกัดเหลียงคิดออกมาได้ 2 solution เลยนะ :cool: ------------------------------------------------------- ส่วนข้อ 6 ไว้ค่อยคุยกันครับ :rolleyes: |
อ้างอิง:
เข้าใจว่าหมายความว่า แทน $x=y+f(x)$ โดยที่ $x$ ตัวแรกกับตัวหลังเป็นตัวเดียวกัน (คือมีค่าเท่ากับแทน $y=x-f(x)$) ก็จะได้ออกมาตามที่พิมพ์ แต่ถ้าเป็นอย่างนั้น ตอนที่ได้สมการ $f(yf(x))=yf(x)$ ก็จะยังสรุปไม่ได้ว่า $f(x)=x$ นะครับ เพราะว่า $y$ กับ $x$ ไม่เป็นอิสระต่อกัน (กล่าวคือ $y=x-f(x)$ เท่านั้น) คือจะได้ข้อสรุปว่า $f\big((x-f(x))f(x)\big)=(x-f(x))f(x)$ แทนครับ |
อ้างอิง:
แล้วจะแก้ยังไงครับ ถ้าจะทำต่อจาก $f\big((x-f(x))f(x)\big)=(x-f(x))f(x)$ ผลลัพธ์ตรงนี้ --------------------------------------------------------------------------- รบกวนเชคอีก 2 quotes นี้หน่อยครับ มีที่ผิดตรงไหนบ้าง ช่วยๆกันดู :laugh: QUOTE ล่าง แทนแบบนี้ได้หรือเปล่าครับ มันจะมีปัญหาเรื่องความอิสระของตัวแปรอีกมั้ย อ้างอิง:
อ้างอิง:
|
| เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 23:46 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha
