Proof
 

ผม จะเตรียมตัวสอบ สอวน แล้ว รบกวนขอโจทย์ พิสูจน์แนว ทฤษฏีจำนวน แนว สอวน ค่ายแรก ก่อนครับ ถ้าง่ายไป ผมค่อยขอเพิ่มระดับ ขอบคุณล่วงหน้าครับ :please::please:

มาตามคำขอ..
ข้อ1. จงแสดงว่าถ้า n เป็นจำนวนเต็มคี่แล้ว8$\left|\,\right.$ $n^2$-1

ข้อ2. จงแสดงว่า2$\left|\,\right. n^2-n$สำหรับทุกจำนวนเต็มn

ข้อ3.จงหาจำนวนเต็ม n ที่มากที่สุดซึ่ง n$\leqslant$2004และ $3^{3n+3}$-27หารด้วย169ลงตัว

ข้อ4. จงหาจำนวนเต็มบวก x ที่น้อยที่สุดซึ่งทำให้ $2^{2548}$ หาร $x^{2005}$+1ลงตัว

เดี๋ยวถ้ายังไงค่อยมาเพิ่มให้งับ(ง่ายไปสำหรับคุณไซเรนปะเนี่ย--*)

1.ให้ $a,b,c$ เป็นจำนวนเต็มบวก ซึ่ง $a^2+b^2=c^2$ จงพิสูจน์ว่า $(a,b,c)=1$ ก็ต่อเมื่อ $(a,b)=(a,c)=(b,c)=1$
2.ให้ $a,b$ เป็นจำนวนเต็มบวก และ $(a,b)=1$ จงพิสูจน์ว่า $(a+b,a^2-ab+b^2)=1$ หรือ $3$


http://www.vcharkarn.com/vcafe/41916/1

เดี๋ยวค่อยทำตอนกลางคืน เดี๋ยวไป ดูทีวีก่อน
ข้อ 2.
cases
$a = 2k$
$4k^2 - 2k = a^2-a$
$2(2k^2-k) = a^2-a$ >>$2k^2-k \in \mathbb{Z}$

$a = 2k+1$
$4k^2+4k+1-2k-1 = a^2-a$
$4k^2 + 2k = a^2 - a$
$2(2k^2-k) = a^2-a$ >> $2k^2-k \in \mathbb{Z} $

ข้อ 1 ให้ n เป็นจำนวนเต็มคี่

$n= 4k+1$
$n^2 - 1 = 16k^2 + 8k + 1 -1$
$n^2 - 1 = 8(2k^2-k)$ $k^2-k \in \mathbb{Z} $

$2^{2546}-1$ ปล่าวครับ
ไม่มั่นใจ

กรณีที่ n= 3 จะมีค่า k เป็นเท่าได? :confused:

ปกติจะเขียนจำนวนคี่ด้วย $n= 2k-1$ โดยที่ k เป็นจำนวนเต็มไดๆครับ

2. ให้ $d=(a+b,a^2-ab+b^2)$
จะได้ว่า $d|(a+b)$ และ $d|(a^2-ab+b^2)$
จาก $d|(a+b)$ ได้ว่า $d|(a^2+2ab+b^2)$
นั่นคือ $d|3ab$
จาก $d|(a+b)$ ได้ว่า $d|3a(a+b)$
นั่นคือ $d|(3a^2+3ab)$ แต่ $d|3ab$
ดังนั้น $d|3a^2$
ในทำนองเดียวกันได้ว่า $d|3b^2$ ด้วย
ดังนั้น $d|(3a^2,3b^2)$
นั่นคือ $d|3(a^2,b^2)$
แต่จาก $(a,b)=1$ $=>$ $(a,b^2)=1$ >> $(a^2,b^2)=1$
จะได้ว่า $d|3$
นั่นคือ $d=1$หรือ$3$

3. จาก $(a,b,c)=1$
$((a,b),c)=1$
$((a,b),c^2)=1$
$((a,b)^2,c^2)=1$
$((a^2,b^2),c^2)=1$
$((a^2,b^2),a^2+b^2)=1$
$(a^2,b^2,a^2+b^2)=1$
$((a^2,a^2+b^2),b^2)=1$
$((a^2,b^2),b^2)=1$
$(a^2,b^2)=1$
$(a,b)^2=1$
$(a,b)=1$
ได้ว่า $(b,c)=(a,c)=1$

Ps. เอามาจากของพี่ Psychoror