|
TMO 13 Discussion
สวัสดีครับทุกคน อยากให้กระทู้นี้เป็นกระทู้สำหรับอภิปรายข้อสอบ TMO 13 กันนะครับ :)
1.กำหนดให้ $ABC$ เป็นรูปสามเหลี่ยมโดยที่ $AB\neq AC$ ถ้าเส้นแบ่งครึ่งมุม $BAC$ ตัดด้าน $BC$ ที่จุด $P$ แบะตัดเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากด้าน $BC$ ที่จุด $Q$ จงแสดงว่า $\frac{PQ}{AQ}=(\frac{BC}{AC+AB})^2$ 2.ให้ $M$ เป็นจำนวนเต็มบวกและ $A=\left\{1,2,...,M+1\right\} $ ถ้า $f:A\rightarrow A$ เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง จงแสดงว่า $$\sum_{n = 1}^{M} \frac{1}{f(n)+f(n+1)} >\frac{M}{M+3}$$ 3.จงหาฟังก์ชัน $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ ทั้งหมดซึ่ง $$f(f(x)f(y)+f(y)f(z)+f(z)f(x))=f(x)+f(y)+f(z)$$ สำหรับทุกจำนวนจริง $x,y,z$ 4.ถ้าจุดแต่ละจุดบนระนาบมีสีแดง น้ำเงิน หรือสีเขียว จงแสดงว่า มีจุดสามจุดซึ่งมีสีเดียวกันและเป้นจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว 5.ให้ $p_1,p_2,...$ เป็นลำดับของจำนวนนับโดย $p_1=2$ และสำหรับจำนวนเต็มบวก $n$ $p_{n+1}$ เป็นจำนวนเฉพาะค่าน้อยสุดที่หาร $$np_1^{1!}p_2^{2!}...p_n^{n!}+1$$ ลงตัว จงแสดงว่าจำนวนเฉพาะทุกจำนวนปรากฏในลำดับ $p_1,p_2,...$ 6.ถ้า $m$ และ $n$ เป็นจำนวนนับโดยที่ $m^{4^n+1}-1$ เป็นจำนวนเฉพาะ จงแสดงว่า มีจำนวนเต็ม $t\geq 0$ ซึ่ง $n=2^t$ 7.ให้ $P(x)=a_{2016}x^{2016}+a_{2015}x^{2015}+...+a_1x+a_0$ เป็นพหุนามดีกรี $2016$ ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริงและสอดคล้อง $$|a_1+a_3+...+a_{2015}|>|a_0+a_2+...+a_{2016}|$$ จงแสดงว่า $P(x)$ มีรากเป้นจำนวนจริงที่มีค่าสัมบูรณ์น้อยกว่า $1$ อยู่เป็นจำนวนคี่ตัว (นับรากตามจำนวนการซ้ำ) 8.กำหนดให้ $ABC$ เป็นสามเหลี่ยมมุมแหลม ซึ่งมี $I$ เป็นจุดศูนย์กลางวงกลมแนบใน เส้นตรงซึ่งผ่านจุด $I$ และขนานกับด้าน $AB$ ตัดด้าน $AC$ ที่จุด $M$ เส้นตรงซึ่งผ่านจุด $I$ และขนานกับด้าน $AC$ ตัดด้าน $AB$ ที่จุด $N$ และเส้นตรง $MN$ ตัดวงกลมล้อมรอบรูปสามเหลี่ยม $ABC$ ที่จุด $X,Y$ ถ้า $Z$ เป็นจุดกึ่งกลางส่วนโค้ง $BC$ (ที่ไม่มีจุด $A$) ของวงกลมล้อมรอบรูปสามเหลี่ยม $ABC$ แล้ว จงแสดงว่า $I$ เป็นจุด Orthocenter ของรูปสามเหลี่ยม $XYZ$ 9.ให้จำนวนจริง $a\neq 0$ จงหาฟังก์ชัน $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ ทั้งหมดซึ่ง $$f(x)f(y)+f(x+y)=axy$$ สำหรับทุกจำนวนจริง $x,y$ 10."เหรียญปัตตาโน" คือเหรียญซึ่งหน้าหนึ่งมีสีฟ้าและอีกหน้าหนึ่งมีสีเหลือง โดยแต่ละหน้ามีจำนวนนับค่าไม่เกิน $100$ กำกับไว้หน้าละหนึ่งจำนวน เหรียญปัตตาโนสองเหรียญ "เหมือนกัน" ก็ต่อเมื่อ จำนวนบนหน้าสีฟ้าของทั้งสองเหรียญมีค่าเท่ากัน และ จำนวนบนหน้าสีเหลืองของทั้งสองเหรียญมีค่าเท่ากัน เหรียญปัตตาโนสองเหรียญ "ประกบกันได้" ก็ต่อเมื่อ จำนวนบนหน้าสีฟ้าของทั้งสองเหรียญมีค่าเท่ากัน หรือ จำนวนบนหน้าสีเหลืองของทั้งสองเหรียญมีค่าเท่ากัน ถ้ามีเหรียญปัตตาโน $2559$ เหรียญ โดยไม่มีสองเหรียญใดเหมือนกัน แล้วจงแสดงว่า มีเหรียญปัตตาโนอย่างน้องหนึ่งเหรียญซึ่งประกบกันได้กับเหรียญอื่นๆ อีกอย่างน้อย $50$ เหรียญ |
$A,B,C,Q$ cyclic Cauchy, $f(1)+2f(2)+2f(3)+...+2f(M)+f(M+1)\leq (M+1)(M+2)-3$ ให้ $i\in Im[f]$ แสดงให้ได้ว่า $3i,7i,15i\in Im[f]$ สุดท้ายได้ว่า $i=0$ พิจารณาจุดสองจุดที่มีสีเดียวกัน วาดวงกลมและดูห้าเหลี่ยมด้านเท่าที่แนบในวงกลมนั้น สมมติว่า $q_{k+1}$ เป็นจำนวนเฉพาะจำนวนแรกที่ไม่ปรากฏ พิจารณา $n$ มากพอที่ทำให้ $q_1,q_2,...,q_k$ ปรากฏในลำดับ 1.$m^n-1$ เป็น prime แล้ว $n$ เป็น prime 2.$2^x+1$ เป็น prime แล้ว $n$ เป็น power of two พิจารณา $P(-1),P(1)$ พิสูจน์ว่าเครื่องหมายต่างกัน พิสูจน์ $ZA$ ตั้งฉาก $XY$ + $AMIN$ เป็นขนมเปียกปูน แยกพิจารณา $a>0,a<0$ $a>0$ จะได้ว่ามี $t$ ที่ $f(t)=0$ $a<0$ พิจารณา $P(x+1,1),f(1)P(x,1),P(x,2),P(1,1)$ ให้ S($A_i$) คือ จำนวนโดมิโนที่นำมาต่อกับ $A_i$ ได้ S($i$-B) คือจำนวนของโดมิโนที่มีหมายเลข $i$ และมีสีฟ้า S($i$-Y) คือจำนวนของโดมิโนที่มีหมายเลข $i$ และมีสีเหลือง จะได้ว่า $$\sum_{i=1}^{2559} S(A_i)= \sum_{i=1}^{2559} S(i-B)^2+S(i-Y)^2$$ |
ถ้าเทียบกับ TMO12 คาดว่าข้อสอบปีนี้ยากขึ้นหรือง่ายลงครับ
ทำคะแนนประมาณเท่าไหร่ถึงเหรียญครับ |
For $9$
We have $f(x)^2+f(2x)=ax^2$ , $f(x)f(-x)+f(0)=-ax^2$ and $f(2x)f(-x)+f(x)=-2ax^2$ then just solve the system equation with $3$ variables |
For $7$, Let $x=a_{2016}+a_{2014} +...+a_0$ and $b=a_{2015}+a_{2013}+...+a_1$, suppose that $P(1)P(-1)\geq 0$
Give us $(x+y)(x-y)\geq 0$, so $|x|\geq |y|$ contradiction, so $P(1)P(-1)<0$ Suppose $-1<r_1<r_2<...<r_{2t}<1$ are root of $P(x)$, then IMV give us $P(1)$ and $P(-1)$ have same sign, contradiction, this finish the prove |
For $5$, Let $q$ is smallest prime that not in those sequence, We consider $n$ such that $n\cdot (\Pi_{i=1}^{q-2}{p_i^{i!}}) \equiv_q 1$ (Obviously exist)
For this $n$ we get $q\mid n\cdot (p_1^{1!}p_2^{2!}\cdot ... \cdot p_{q-2}^{(q-2)!}\cdot ... \cdot p_n^{n!})+1$ (Since $p_l^{l!} \equiv_q 1$ when $l\geq q-1$ by Fermat's Litttle) And since all of prime less than $q$ is in this sequence (We can choose $n$ as big as we want), so $p_n=q$, contradiction |
ยินดีกับคุณ Beatmania ด้วยครับที่ข้อสอบได้ไปออกเป็นข้อ 3 กับ 5 :happy:
ลองเรียงความยากของข้อสอบดู วันแรก 2<1<5<4<3 วันที่สอง 6<7<9<10<8 ถ้าเทียบกันข้อต่อข้อแล้ววันที่สองง่ายกว่าวันแรก คิดว่าน่าจะง่ายกว่า TMO ปีที่แล้วเพราะมีข้อแจกแต้ม (ทุกคนควรทำได้) เยอะกว่าครับ อนึ่งความยากขึ้นกับบุคคล |
อ้างอิง:
ส่วนคะแนนยังไม่ค่อยแน่ใจเท่าไหร่ครับ - -" กะประมาณไม่ค่อยถูก ส่วนตัวแล้ว คิดว่าความยากของข้อสอบเรียงแบบนี้ครับ 1: 2<1=3<4<5 2: 6=8<7=9<10 |
ข้อ 7 ยากสุดสำหรับปีนี้ (ได้ยังไงก็ไม่รู้) มีคนได้เต็มแค่ 3 คน
|
อาจารย์ครับ แล้วสถิติข้ออื่นๆ ล่ะครับๆ
แต่ข้อสอบปีนี้น่าสนใจจริงๆ มีสวยๆ (ไม่นับข้อผม) หลายข้อเหมือนกันๆ |
ข้ออื่นทำกันได้เยอะครับ ที่ 1 น่าจะได้เกิน 60 คะแนนและเป็นม้ามืด
|
ขอบคุณครับ ปีนี้น่าสนใจจริงๆ ครับ :)
|
ข้อสอบทุกข้อปีนี้มาจากศูนย์สอวน ครับ
|
ขอแสดงความยินดีกับทุกคนที่ได้รับเหรียญนะครับ :) :) :)
อยากทราบสถิติ + Cutoff ปีนี้ครับ |
ถ้าจำไม่ผิดทองแดงตัดที่ 12 ครับ
อื่นๆไม่แน่ใจครับ |
| เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 05:06 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha