Nice Inequality problem.
Let $a,b,c>0$ with $abc=1$
Prove that $$\displaystyle 2\Big(\Big(\frac{a}{1+a+ab}\Big)^2+\Big(\frac{b}{1+b+bc}\Big)^2+\Big(\frac{c}{1+c+ca}\Big)^2\Big)+\frac{9}{(1+a+ab)(1+b+bc)(1+c+ ca)}\ge 1$$ |
ขอคำใบ้หน่อยได้มั้ยครับ คิดมานานละยังไม่ออกเลย เเหะๆ
|
$abc=1$ จะได้ว่า $\displaystyle (1+a+ab)(1+b+bc)(1+c+ca)=\sum_{cyc} a(1+b+bc)(1+c+ca)$ ครับ
|
Let $x = \frac{a}{1+a+ab}, y = \frac{b}{1+b+bc}, z = \frac{c}{1+c+ca}$
From the above hint, we get $x+y+z = 1$. It remains to show that $2(x^2+y^2+z^2)+9xyz \geq 1$ $\leftrightarrow 2(x^2+y^2+z^2)(x+y+z)+9xyz \geq (x+y+z)^3$ $\leftrightarrow x^3+y^3+z^3+3xyz \geq x^2y+x^2z+y^2x+y^2z+z^2x+z^2y$ which is true by Schur's inequality. |
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 12:21 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha