โจทย์ matrix หา det ครับ
กำหนดให้ $ A = $ \[\left[\begin{array}{ccc}
2011^2 & 2012^2 & 2013^2 \\ 2012^2 & 2013^2 & 2014^2 \\ 2013^2 & 2014^2 & 2015^2 \end{array}\right]\] จงหาค่า detA |
อ้างอิง:
$C_3\, :\, C_3-C_2$ และ $C_2\, :\, C_2-C_1$ $$\vmatrix{2011^2 & 4023 & 4025 \\ 2012^2 & 4025 & 4027 \\ 2013^2 & 4027 & 4029} $$ $C_3\, :\, C_3-C_2$ $$\vmatrix{2011^2 & 4023 & 2 \\ 2012^2 & 4025 & 2 \\ 2013^2 & 4027 & 2} $$ $C_2\, :\, C_2-\dfrac{4023}{2}C_3$ $$\vmatrix{2011^2 & 0 & 2 \\ 2012^2 & 2 & 2 \\ 2013^2 & 4 & 2} $$ $C_3\, :\, C_3-C_2$ $$\vmatrix{2011^2 & 0 & 2 \\ 2012^2 & 2 & 0 \\ 2013^2 & 4 & -2} $$ $C_2\, :\, C_2+C_3$ $$\vmatrix{2011^2 & 2 & 2 \\ 2012^2 & 2 & 0 \\ 2013^2 & 2 & -2} $$ แตก det โดยใช้ $C_3$ เป็นหลัก $$(2)\vmatrix{2012^2 & 2 \\ 2013^2 & 2} + (-2) \vmatrix{2011^2 & 2 \\ 2012^2 & 2}$$ $$=4(2012^2-2013^2-2011^2+2012^2)$$ $$=-8$$ ผิดตรงไหนทักท้วงได้นะครับ :) |
เปลี่ยนเป็นการคำนวณด้วยสัญลักษณ์จะได้เอกลักษณ์สวยๆหน้าตาแบบนี้
$\vmatrix{(a-1)^2 & a^2 & (a+1)^2 \\ a^2 & (a+1)^2 & (a+2)^2 \\ (a+1)^2 & (a+2)^2 & (a+3)^2}=-8$ รูปแบบที่เป็นทั่วไปกว่าคือ $\vmatrix{(a-1)^2 & a^2 & (a+1)^2 \\ (b-1)^2 & b^2 & (b+1)^2 \\ (c-1)^2 & c^2 & (c+1)^2}=-4(a-b)(b-c)(c-a)$ |
อ้างอิง:
|
#4 ทดลองพิสูจน์ดูหรือยังครับ
|
กระจายออกมาเลยครับ ต้องอึดเล็กน้อยถึงปานกลาง
$[(a-1)b(c+1)]^2+[a(b+1)(c-1)]^2+[(a+1)(b-1)c]^2-[(a+1)b(c-1)]^2-[a(b-1)(c+1)]^2-[(a-1)(b+1)c]^2$ ดึงเทอมที่มี $a^2,b^2,c^2$ มาอยู่ด้วยกัน $a^2[(bc-b+c-1)^2-(bc+b-c-1)^2]+b^2[(ac+a-c-1)^2-(ac-a+c-1)^2]+c^2[(ab-a+b-1)^2-(ab+a-b-1)^2]$ ใช้สูตรผลต่างกำลังสอง $a^2[(2c-2b)(2bc-2)]+b^2[(2a-2c)(2ac-2)]+c^2[(2b-2a)(2ab-2)]$ $4[a^2(c-b)(bc-1)+b^2(a-c)(ac-1)+c^2(b-a)(ab-1)]$ มองทุกเทอมให้เป็นพหุนามกำลังสองในตัวแปร $a$ $4[(c-b)(bc-1)a^2+b^2(ca^2-(c^2+1)a+c)+c^2(-ba^2+(b^2+1)a-b)]$ $4[(bc^2-c-b^2c+b+b^2c-bc^2)a^2-(b^2c^2+b^2-b^2c^2-c^2)a+b^2c-bc^2]$ $4[(b-c)a^2-(b-c)(b+c)a+bc(b-c)]$ $4(b-c)[a^2-(b+c)a+bc]$ $4(b-c)(a-b)(a-c)$ $-4(a-b)(b-c)(c-a)$ |
ท่าน nooonuii อึดมากครับ
ผมอึดสู้ไม่ได้ ผมใช้ row operation เอาครับ :) |
ใช้ row operation ก็ง่ายดีครับ ผมเน้นอึดมากไปหน่อย :D
$\vmatrix{(a-1)^2 & a^2 & (a+1)^2 \\ (b-1)^2 & b^2 & (b+1)^2 \\ (c-1)^2 & c^2 & (c+1)^2}=\vmatrix{-2a+1 & a^2 & 2a+1 \\ -2b+1 & b^2 & 2b+1 \\ -2c+1 & c^2 & 2c+1}$ $=\vmatrix{2 & a^2 & 2a+1 \\ 2 & b^2 & 2b+1 \\ 2 & c^2 & 2c+1}$ $=2\vmatrix{1 & a^2 & 2a+1 \\ 1 & b^2 & 2b+1 \\ 1 & c^2 & 2c+1}$ $=2\vmatrix{1 & a^2 & 2a \\ 1 & b^2 & 2b \\ 1 & c^2 & 2c}$ $=4\vmatrix{1 & a^2 & a \\ 1 & b^2 & b \\ 1 & c^2 & c}$ $=-4\vmatrix{1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2}$ ซึ่งตัวสุดท้ายนี้อาจจะใช้สูตร $\det$ ของ Vandermonde matrix ก็ได้ครับ |
คือผมเห็นโจทย์เมตริกแบบหา det หลายๆข้อแล้ว อยากรู้ว่ามันมีหลักในการเลือกแถวที่จะทำ row operation ให้ง่ายๆยังไงอ่ะครับ
และผมก็ขอทฤษฎีเกี่ยวกับ det เมตริก หน่อยได้มั้ยอ่ะครับ :please: |
ทำให้ได้เมทริกซ์ขั้นบันไดครับ จะดูมีหลักการกว่าสุ่มเอา
แต่โจทย์บางข้ออาจจะโยงไปหารูปแบบเมทริกซ์ที่รู้ค่า $\det$ อยู่แล้ว ผมว่าจำสูตรหา $\det$ ที่มีอยู่ในหนังสือม.ปลายให้ได้และนำไปใช้ให้เป็นก็พอแล้วล่ะ สูตรที่ผมใช้บ่อยที่สุดคงเป็นการทำ row/column operation นี่แหละครับ |
ท่าน nooonuii สุดยอดมากครับ !!! :great:
|
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 14:42 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha