โจทย์พิสูจน์เรื่อง หรม.
 

กำหนด $a,b$ เป็นจำนวนเต็มบวก โดย $(a,b)=1$ จงพิสูจน์ว่rblา $(a+b,a^{2}+b^{2})=1 หรือ 2$
ช่วยหน่อยนะครับ ขอวิธีทำสักเล็กน้อย

สมมติ $d=(a+b,a^2+b^2)$

จะได้ว่า

$d|(a+b)^2-(a^2+b^2)=2ab$

$d|2a(a+b)-2ab=2a^2$

$d|2b(a+b)-2ab=2b^2$

ดังนั้น

$d|(2a^2,2b^2)=2(a,b)^2=2$

$d=1,2$

วิธีทำสุดยอดเลยครับ ว่าแต่
$d∣2a(a+b)−2ab=2a^{2}$
$d∣2b(a+b)−2ab=2b^{2}$
ตรง2บรรทัดนี้เราจะนึกขึ้นมาได้ไงครับ พอมีมูลเหตุที่ทำให้เกิดหรือเปล่าครับ :confused:

พยายามหาทางเอาเงื่อนไขโจทย์ที่ว่า $(a,b)=1$ มาใช้ครับ

ก็ลองผิดลองถูกไปเรื่อย version แรกที่ึ่คิดไว้ยาวกว่านี้มากเลยครับ

เพิ่งมาเจอวิธีนี้ตอนหลัง ลองเอาโจทย์คล้ายๆกันไปทำดูครับ

$(a,b)=1$ จงพิสูจน์ว่า $(a+b,a^2-ab+b^2)=1$ หรือ $3$

ให้ $d=(a+b,a^2-ab+b^2)$ จะได้ $d|(a+b)^2-(a^2-ab+b^2)\leftrightarrow d|3ab$
จะได้ $d|3a(a+b)-3ab\leftrightarrow d|3a^2$ และ $d|3b(a+b)-3ab\leftrightarrow d|3b^2$
นั่นคือ $d|(3a^2,3b^2)\leftrightarrow d|3(a,b)^2\leftrightarrow d|3$ ดังนั้น $d=1 หรือ 3$