หาสัมประสิทธิ์ของ x ยกกำลังต่าง ๆ
 

กำหนดให้ k เป็นจำนวนเต็มบวก จงหาสัมประสิทธิ์ของ x ยกกำลังต่างๆ เมื่อกำหนด$ f\left(\,x\right) =\left(\,1+x\right)^{2k} +\left(\,1-x\right)^{2k} +\left(\,1+x^2\right)^k$

ให้ $[x]$ แทนสัมประสิทธิ์ของ $x$ และ $0\leq i \leq k$
$$(1+x)^{2k}=\binom{2k}{0}+\binom{2k}{1}x+\binom{2k}{2}x^2+...+\binom{2k}{2k}x^{2k} \rightarrow [x^{i}]=\binom{2k}{i}$$
$$(1-x)^{2k}=\binom{2k}{0}-\binom{2k}{1}x+\binom{2k}{2}x^2-...+\binom{2k}{2k}x^{2k} \rightarrow [x^{i}]=(-1)^i\binom{2k}{i}$$
$$(1+x^2)^k=\binom{k}{0}+\binom{k}{1}x^2+\binom{k}{2}x^4+...+\binom{k}{k}x^k\rightarrow [x^{2i}]=\binom{k}{i}$$

กรณี $x\in O$ จะได้ $[x^i]$ ของ $f(x)$ คือ $0$ ทุก $i$
กรณี $x\in E$ จะได้ $[x^i]$ ของ $f(x)$ คือ $2\binom{2k}{i}+\binom{2k}{\frac{i}{2}}$

ดังนั้น ...

รู้สึกเนื้อหาโจทย์จะไม่่่ตรงกับห้อง =="

ไม่รู้จะใส่ในห้องไหนดีครับ
ขอโทษครับ