Equality concerning a certain complex integration
 

ต้องการพิสูจน์โจทย์ ดังนี้ครับ

Suppose that $f$ is holomorphic in a neighborhood of the closure of the unit disc. Show that for $|z| \leq 1$, $$f(z)(1 - |z|^2) = \frac{1}{2\pi i}\int_{|w| = 1} \frac{1- \bar z w}{w -z} f(w) dw.$$

ที่คิดไว้นะครับ

Let $\gamma (t) = (\cos (t), \sin (t)) , 0 \leq t \leq 2 \pi$ be the positive oriented circle. Let $U$ be the neighborhood of closure of $U(0,1)$. For each $|z| \leq 1$, let $ g_z(w) = \frac{1- \bar z w}{w -z} f(w) $ for $w \in U \setminus \{z\}$. Since $f$ is holomorphic on $U$, $w = z$ is the only isolated singularity (simple pole) of $g$. Let $|z| < 1$. Then by Residue theorem, $$ 2 \pi i(1-z \bar z) f(z) = 2 \pi i \ \mbox{Res}(g_z, z) = \int_{\gamma} g_z(w) dw$$ as desired.

ไม่แน่ใจ แต่คิดว่าโจทย์น่าจะมีปัญหาครับ กรณ๊ $|z| = 1$ คิดว่าไม่น่าจะหา $\int_{|w| = 1} \frac{1- \bar z w}{w -z} f(w) dw $ ได้ เพราะ $w_0 = 1 = z$ for some $w_0$ ทำให้ $\frac{1- \bar z w}{w -z} $ ไม่มีความหมาย ที่ $w_0$ เหมือนหารด้วย 0 ไม่แน่ใจว่าคิดถูกมั้ยครับ:please:

ถ้า $|z|=1$ เทอมทางซ้ายมือมันเป็น $0$ แล้วทางขวามือต้องเป็นศูนย์ด้วย มันหมายความว่าอะไรเหรอครับ

:confused::confused::confused::confused:

เอ่อ ถ้าคิดแบบลองสมมติว่าสมการเป็นจริงที่ $|z| = 1$ ก็จะได้ว่า $$\int_{\gamma} g_z(w) dw = 0$$ แต่ $z$ ซึ่งเป็น singularity อยู่บน range $\gamma$ คือ อยู่บนตัว curve $\gamma$ เลย :confused::confused: มันก็เป็นไปไม่น่าจะได้ที่ $f$ จะมี factor ของ $w-z$ ทุก $|z| =1$ เพื่อที่มันจะตัดกันแล้ว $g_z$ holomorphic ซึ่งได้ว่า integrate บน closed path homotopic to a point = 0 ไม่น่าจะจริงนะครับ ไม่ค่อยเข้าใจอ่ะครับ :confused::confused:

เรื่องนี้ผมก็ไม่ค่อยเข้าใจครับ ลืมไปหมดสิ้นแล้ว

ก็เลยพยายามตั้งข้อสังเกตเผื่อว่าจะมีประโยชน์

อีกประเด็นหนึ่งที่ผมคิดว่าอาจจะได้ใช้คือการที่

$f$ holomorphic ใน neighborhood ของ closure of the unit disc

มันจะเปิดพื้นที่ว่างนอกวงกลมหนึ่งหน่วยให้เราสามารถสร้างเส้นโค้งปิดคลุมวงกลมหนึ่งหน่วยได้

ไม่รู้ว่าจะมีประโยชน์มั้ยนะครับ