ทำโจทย์กัน
1.กำหนดให้ f(n)เป็นผลบวกของ n พจน์แรกของลำดับต่อไปนี้
0,1,1,2,2,3,3,4,4.....,r,r,r+1,r+1,..... 1.1 จงเขียนสูตรกำหนด f(n) สำหรับจำนวนเต็มบวกใดๆ 1.2 จงพิสูจน์ว่า f(s+t)-f(s-t)=st สำหรับจำนวนเต็มบวก sและ tซึ่ง s≻t 2.กำหนดให้ลำดับ $a_0,a_1,a_2,....$ สอดคล้องกับเงื่อนไข $a_{m+n}+a_{m−n}=\frac{1}{2}(a_{2m}+a_{2n})$ สำหรับทุกจำนวนเต็ม m≥n ถ้า $a_1=1$ จงหา$a_{2003}$ 3.สำหรับแต่ละจำนวนเต็มบวก n เรานิยามให้ $h(n)=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3} +...+\frac{1}{n}$ จงพิสูจน์โดยไม่ใช้วิธีอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ว่า n+h(1)+h(2)+...+h(n−1)=nh(n)สำหรับ n=2,3,4,... 4.สำหรับแต่ละจำนวนเต็มบวก n จงพิสูจน์ว่า $1−\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2n-1}= \frac{1}{n} +\frac{1}{n+1} +...+\frac{1}{2n-1}$ :please:ช่วยทำหน่อย(ต้องการด่วน)ขอบคุณครับ:happy: |
ข้อ 1.1 \[
{\rm f}\left( {\rm n} \right){\rm = }\left\{ {\frac{{{\rm n}^{\rm 2} }}{{\rm 4}}} \right. \] เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มคู่ \[ {\rm f}\left( {\rm n} \right){\rm = }\left\{ {\frac{{{\rm n}^{\rm 2} - 1}}{{\rm 4}}} \right. \] เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มคี่ |
ข้อ 1.2 แบ่งเป็น 2 กรณี แล้วแทนค่าจากสมการในข้อ 1.1
ข้อ 2. จะได้ \[ a_n = n^2 \] ดังนั้น \[ a_{2003} = 2003^2 \] |
3.
จัดรูปใหม่จะได้ว่า 4. $\begin{array}{rcl} n+h(1)+h(2)+...+h(n-1)&=&n+(1)+(1+\frac{1}{2})+...+(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n-1})\\ &=&n+(n-1)(1)+(n-2)(\frac{1}{2})+...+(1)(\frac{1}{n-1})\\ &=&[(n-1)(1)+1]+[(n-2)(\frac{1}{2})+1]+...+[(1)(\frac{1}{n-1})+1]+1\\ &=&n+\frac{n}{2}+\frac{n}{3}+...+\frac{n}{n-1}+\frac{n}{n}\\ &=&n(\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k} )\\ &=&nh(n)\\ \end{array}$ ตามต้องการ:yum: เช่นเดียวกับข้อ 3 ดำเนินการจัดรูป:rolleyes: $\begin{array}{rcl} 1−\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-...+\frac{1}{2n-1}&=&\sum_{k = 1}^{2n-1} \frac{1}{k}-2\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{2k}\\ &=&\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k}-\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k}\\ &=&\sum_{k = n}^{2n-1} \frac{1}{k} \end{array}$ ตามต้องการ:yum: |
ข้อ3และ4นี่ผมทำได้ตอนแรกๆแต่ตอนหลังจัดรูปไม่ได้ครับอย่างไรก็ตามขอขอบคุณพี่ๆมากเลยครับ
|
อ้างอิง:
|
อ้างอิง:
|
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 20:45 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha