สมการ diophantine ไม่มีคำตอบ
 

Prove that the equation $x^2+y^2=3z^2$ has no integer solution $(x,y,z)\not= (0,0,0)$

mod 3,infinite descent หรือเปล่าครับ

สมมติว่ามีชุดคำตอบ $(x,y,z)\not= (0,0,0)$

เนื่องจากสามารถแทน $(x,y,z)$ ด้วย $(\left|x\right|,\left|y\right|,\left|z\right|)$ จึงเป็นการเพียงพอที่จะพิจารณากรณีที่ $x,y,z>0$

โดยไม่เสียนัยทั่วไป ให้ $(x,y,z)$ เป็นชุดคำตอบที่ $\left|x\right|$ น้อยที่สุด ---------------------(1)

จาก $x^2+y^2=3z^2$ ดังนั้น $3\,\left|\,x^2+y^2\right. $

แต่จาก $x^2,y^2 \equiv 0,1\ (\rm{mod}\ 3)$

ดังนั้น $x^2\equiv y^2\equiv 0\ (\rm{mod}\ 3)$ นั่นคือมี $x_1,y_1$ ที่ทำให้ $x=3x_1,y=3y_1$

จะได้ว่า $(3x_1)^2+(3y_1)^2=3z^2$

$3x_1^2+3y_1^2=z^2$

ดังนั้น $z \equiv 0\ (\rm{mod}\ 3)$ และให้ $z=3z_1$

จึงได้ว่า $3x_1^2+3y_1^2=(3z_1)^2$

$\therefore x_1^2+y_1^2=3z_1^2$

ได้ว่า $(x_1,y_1,z_1)$ เป็นชุดคำตอบ และ $\left|x_1\right| < \left|x\right|$ ขัดแย้งกับ (1)

ดังนั้นไม่มีชุดคำตอบ $(x,y,z)$ ที่สอดคล้องกับ $x^2+y^2=3z^2$

ขอบคุณมากครับ

ขออีกคำถามเเล้วกันนะครับ เเต่ไม่เกี่ยวกับ diophantine นะครับ

จงเเสดงว่าถ้า m,n เป็นจำนวนเต็มบวก เเล้ว $\frac{(2m)!(2n)!}{m!n!(m+n)!}$ เป็นจำนวนเต็ม

$\left\lfloor\,2m\right\rfloor +\left\lfloor\,2n\right\rfloor \geqslant \left\lfloor\,m\right\rfloor + \left\lfloor\,n\right\rfloor+ \left\lfloor\,m+n\right\rfloor$

ลอง pf ดูครับ พอได้แล้ว เข้า Legendre's Formula เลยฮะ