ปัญหาคาใจ
 

ขอโทษล่วงหน้าที่อาจจะตั้งหัวข้อไว้ผิดหมวด

จากภาพนี่คือ Methane เป็น Organic Compound ชนิดหนึ่ง ที่มีมุมพันธะ $109.5$ องศา (เงื่อนไขคือพันธะทั้งสี่ต้องห่างกันมากที่สุดและเป็นระยะทางเท่ากัน) จงพิสูจน์ข้อความดังกล่าว
ปล. เส้นทึบๆๆหมายถึงอยู่ใกล้ตา เส้นประๆๆหมายถึงอยู่ไกลตา นอกนั้นหมายถึงอยู่ในระนาบ

มองอะตอมของไฮโดรเจนทั้งสี่จุดให้เป็นจุดยอดของทรงสี่หน้า (tetrahedron)

ให้ อะตอมของคาร์บอนแทนจุดกำเนิด อะตอมของคาร์บอนจะเป็นจุดกึ่งกลางของทรงสี่หน้าพอดี

สมมติว่า อะตอมของไฮโดรเจนเป็นจุด $v_1,v_2,v_3,v_4$ ใน $\mathbb{R}^3$

จุดเหล่านี้จะมีขนาดเท่ากัน(ระยะทางไปยังอะตอมคาร์บอน)

จะได้ว่าจุดกึ่งกลางของทั้งสี่จุดนี้คือ $\dfrac{v_1+v_2+v_3+v_4}{4}$

แต่เราให้จุดกึ่งกลาง(อะตอมคาร์บอน) เป็นจุดกำเนิด ดังนั้น

$\dfrac{v_1+v_2+v_3+v_4}{4}=0$

$v_1+v_2+v_3+v_4=0$

ต่อไปคำนวณมุมระหว่างอะตอมจากสูตร

$\cos{\theta}=\dfrac{v_1\cdot v_2}{\|v_1\|\|v_2\|}$

$~~~~~~=\dfrac{v_1\cdot (-v_1-v_3-v_4)}{\|v_1\|^2}$

$~~~~~~=\dfrac{-v_1\cdot v_1-v_1\cdot v_3-v_1\cdot v_4}{\|v_1\|^2}$

แต่ มุมระหว่างอะตอมไฮโดรเจนเท่ากันหมด เราจะได้ว่า

$v_i\cdot v_j=\|v_i\|\|v_j\|\cos{\theta}$ ทุก $i\neq j$

ดังนั้น

$\cos{\theta}=\dfrac{-\|v_1\|^2-\|v_1\|^2\cos{\theta}-\|v_1\|^2\cos{\theta}}{\|v_1\|^2}$

$~~~~~~=-1-2\cos{\theta}$

จึงได้

$\cos{\theta}=-\dfrac{1}{3}$

$~~~~\theta=\arccos{\Big(-\dfrac{1}{3}\Big)}$

$~~~~~ \approx 109.47^{\circ}$

ให้ $\vec F, \vec F_1, \vec F_2, \vec F_3$ แทนเวกเตอร์ของแรงทั้งสี่ โดยที่ $|\vec F| = |\vec F_1| = |\vec F_2| = |\vec F_3| = F $

โดยสมดุลของแรงจะได้ $\vec F + \vec F_1 + \vec F_2 + \vec F_3 = \vec 0$

ดังนั้น $\vec F\bullet (\vec F + \vec F_1 + \vec F_2 + \vec F_3) = \vec F\bullet \vec 0$

$\vec F\bullet \vec F + \vec F\bullet \vec F_1 + \vec F\bullet \vec F_2 + \vec F\bullet \vec F_3 = \vec F\bullet \vec 0$

$F^2 + F^2\cos \theta + F^2\cos \theta + F^2\cos \theta = 0$

(จากนิยามของผลคูณเชิงสเกลาร์ $\vec u \bullet \vec v = |\vec u||\vec v|\cos \theta$)

แต่ $F \ne 0$ ดังนั้น

$3\cos \theta = -1$

$\theta = arccos(-1/3)$

ขอบคุณมากครับ