The length of curve proving
ลองโจทย์ของผมข้อนี้ดูบ้างครับ :D
มีเส้นกราฟ 2 เส้นใดๆ ที่มีความยาวเส้นโค้งเท่ากัน ในช่วง x = a ถึง x = b ใดๆ และทุกๆจุดใน ช่วง x = a ถึง x = b นี้ เส้นกราฟทั้งสองต่างก็มีความชัน ณ 0 จงพิสูจน์ว่า ในช่วง x = a ถึง x = b นี้ มีจุดที่เส้นกราฟทั้งสองมีความชันเท่ากัน อย่างน้อย 1 จุด :haha: :haha: :haha: |
ให้ $f(x)=x,\ g(x)=-x$ เป็นฟังก์ชันบนช่วง $[-a,a]$ เมื่อ $a\in\mathbb{R}$ จะพบว่าบนช่วงนี้'ความยา่ว'ของกราฟทั้งสองก็เท่ากัน เพราะมันคือเส้นแทยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสเหมือนกัน แต่ความชันที่ทุกจุดของ $f$ และ $g$ เป็น 1 และ -1 ตามลำดับ แก้ไข: อ่านโจทย์ผิดครั้งแรก |
เข้าใจครับ :rolleyes: แต่จากโจทย์ผมระบุว่า ให้ในช่วง x = a ถึง x = b ใดๆ เส้นกราฟทั้งสองต่าง
ก็มีความชันทุกๆจุด ณ 0 นะครับ ลองดูสิครับ :haha: :haha: :haha: :p |
ฝึกพิมพ์ TeX ได้แล้วครับ แก้ไข: ขออภัยครับ พลาดง่ายๆจนได้ |
แต่ยังงั้นมันก็มีความยาวเส้นไม่เท่ากันน่ะสิครับ มันค้านกับโจทย์น่ะคับ :sweat: ต้องให้ความ
ยาวเส้นมันเท่ากัน และ ทั้งสองมีความชันเป็นบวกทั้งคู่ และเส้นกราฟทั้งสองสามารถหาอนุพันธ์ได้ทุกๆ จุดในช่วง x = a ถึง x = b ใดๆ ( พูดง่ายๆก็คือ เส้นโค้งแบบ smooth น่ะครับ ) ถ้าพิสูจน์แล้วจะพบว่า ต้องมีอย่างน้อย 1 จุด ในช่วงค่า x = a ถึง x = b ใดๆ ที่เส้นกราฟทั้งสองมีความชันเท่ากัน :D :D ลองพิสูจน์ดูสิครับ :rolleyes: |
งั้นก็น่าจะบอกแต่แรกว่ากราฟมัน smooth เพราะหากไม่บอก ผมก็ยังหาตัวอย่างค้านได้อยู่ดี
หากผมยังผิด ผมขอดูวิธีทำคุณ Redhotchillipepper หน่อยสิครับ ไม่แน่ว่าผมอาจมองข้ามอะไรไปก็ได้ ข้อนี้น่าจะไปตั้งที่ห้องปัญหาคณิตศาสตร์ โอลิมปิก และ อุดมศึกษามากกว่านะครับ |
พิจารณา $h(x) = \sqrt{1+[f'(x)]^2} - \sqrt{1+[g'(x)]^2}$
ถ้า $h(x)>0$ ทุกค่า $x\in [a,b]$ หรือ $h(x)<0$ ทุกค่า $x\in [a,b]$ เราจะได้ว่า $\displaystyle{ \int_a^b\sqrt{1+[f'(x)]^2} \, dx > \int_a^b\sqrt{1+[g'(x)]^2} \, dx }$ หรือ $\displaystyle{ \int_a^b\sqrt{1+[f'(x)]^2} \, dx < \int_a^b\sqrt{1+[g'(x)]^2} \, dx }$ ซึ่งขัดแย้งกับสมมติฐานของโจทย์ ดังนั้น $h(x_0) = 0$ สำหรับบางค่า $x_0\in [a,b]$ นั่นคือ $f'(x_0) = g'(x_0)$ เนื่องจาก $f',g'\geq 0$ ดังนั้น มีจุดซึ่งเส้นโค้งทั้งสองมีความชันเท่ากัน |
ขอบคุณคุณ nooonuii ครับ ผมจะได้ย้ายกระทู้นี้ไปห้องอุดมศึกษา(ซะที)นะครับ
เป็นอีกครั้งทีี่ผมเล่นกระทู้ตอนอารมณ์เสียแล้วตอบคำถามผิด ขาดความรอบคอบไปเลย สงสัยต้องพิจารณาตัวเองใหม่แล้วกระมัง |
คุณ nooonuii พิสูจน์ได้คล้ายๆกับของผมเลยครับ ของผมคิดว่าให้เส้นกราฟทั้งสองมีความยาว
เท่ากันก่อน คือ ๒ h(x) dx = 0 ( h(x) เอามาจากสมการของพี่หนุ่ยนะครับ :D ) จากสมการนี้ก็สรุปได้ว่า h(x) ต้องมีการตัดแกน x ในช่วง x = a ถึง x = b แน่นอน ดังนั้นสรุปได้ว่าใน ช่วง x = a ถึง x = b ต้องมีจุดที่กราฟทั้งสองมีความชันเท่ากันอย่างน้อย 1 จุดแน่นอน :D |
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 14:14 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha