Please check answer
 

Find all n is a positive even number that $0<n<1000$ and $17|n^{2}\times2^{3n^{2}}+1 $
is that the answer is 29:please:
thanks

2. find all $p\in \mathbb{P} $ that $P^{2}+11$ has only 6 positive factor
please see what I do wrong

$\because P^{2}+11$ has 6 positive factor $\therefore P^{2}+11=mn^{2},r^{5}$ that$m,n,r\in \mathbb{P} $
Case 1
$P^{2}+11=mn^{2}$
$11=m(n^{2}-\frac{p^{2}}{m})$
$\because 11\in \mathbb{P} ,m\in \mathbb{P} \therefore m=11$
$1=n^{2}- \frac{p^{2}}{11}$
$P^{2}=11(n^{2}-1)$
$\therefore P=11,n= \sqrt{12}$ --->n not true so no answer for this case

Case 2
$P^{2}+11=r^{5}$
$11=r(r^{4}-\frac{P^{2}}{r})$
$\because 11\in \mathbb{P} ,r\in \mathbb{P} \therefore r=11$
$11=11^{4}-P^{2}$
$P^{2}=11^{5}-11$
$\sqrt{11^{5}-11} \not\in \mathbb{P} \therefore$ no answer for this case

from case1,2 $\therefore$ no anwser

BUTTT!! if i give $P=3--> P^{2}+11=20=2^{2}\times 5$ there is an anwser?

ผมได้ 58 นะครับ จากการยัดเข้า mathematica
ถ้าลองเช็คดู $n^{2}\times2^{3n^{2}}+1 $ mod 17 มันวนลูปทุกๆ 34 ตัวสำหรับเลขคู่ แล้วใน 34 ตัวแรกก็จะมี 0 อยู่ 4 ตัวนะครับ

ข้อที่สอง
เพราะว่า $p^2 / m , p^2 / r $ ไม่จำเป็นเที่จะต้องเป็นจำนวนเต็มน่ะครับ อย่าง p = 3 , m = 5, n = 2, $p^2 / m = 9/5$

แนวคิดน่าจะถูกแล้วส่วนนึงน่ะครับ ถ้าใช้วิธีที่ผมคิดได้ จะใบ้ให้ว่าให้ลองดู mod 6

อืม... ข้อสองนี่แทน $p=6k+1$ หรือ $p=6k-1$ แล้วมันจะได้ว่าไม่จริง
จะได้ว่า $p=2,3$
ซึ่งก็ลองแทนดูก็ได้ จะได้ 3 เป็นคำตอบเดียว

เอ... ส่วนข้อ 1 นี่ ลอง... แทนด้วย $16k,16k+2,16k+4,16k+6,16k+8, 16k+10, 16k+12, 16k+14$ ก็น่าจะแล้ว... มั้งครับ... ข้อหนึ่ง ถ้าได้แล้วจะมาโพสต์ครับ

2. Case1$P>5 \therefore P \equiv 1,-1(mod6)$
1.1$P \equiv 1(mod6)--->P=6k+1,k\in \mathbb{N} $
$P^{2}+11=(6k+1)^{2}+11$
$36k^{2}+12k+12=[(2)^{2}(3)](3k^{2}+k+1)$
$\because k>1$ $\therefore$ factor of $P^{2}+11>6$
1.2$P \equiv -1(mod6)--->P=6k-1,k\in \mathbb{N}$
$P^{2}+11=(6k-1)^{2}+11$
$36k^{2}-12k+12=[(2)^{2}(3)](3k^{2}-k+1)$
$\because k\in \mathbb{N}$ $\therefore$ factor of $P^{2}+11>6$
$\therefore$ no p for case1
Case2$P=2,3$
we put in the equation and get that only 3 is true
$\therefore P=3$

Could you please see what's wrong with my solution again
1.Let $n=2k,k \in \mathbb{N}$
$ (2k)^{2}\times 2^{3(2k)^{2}}+1=4k^{2}\times2^{12k^{2}}+1=4k^{2}\times(2^{4})^{3k^{2}}+1\equiv 4k^{2}+1 \equiv 0(mod17)$
$4k^{2} \equiv 16(mod17)$
$k^{2} \equiv 4(mod17)$
$\therefore k^{2}=17t+4,n \in \mathbb{N}$
$t=\frac{(k+2)(k-2)}{17}$
$\because t \in \mathbb{N},17 \in \mathbb{P} $
we get two case
CASE1
$k+2=17m,m\in \mathbb{N}$
$k=17m-2$
$\therefore n=34m-4$
All n is$\left\lceil\ \frac{1004}{34} \right\rceil =29 $
CASE2
$k-2=17m,m \in \mathbb{N}$
$n=34m+4$
All n is $\left\lceil\ \frac{996}{34} \right\rceil =29 $
from case1,2 $\therefore$ all n is $58$

3.Let $n$ is a positive odd number that $(n,5)=1$ show that it has $k\in\mathbb{N}$that$n|111\times \times \times 111$( k number)

เจอแล้วครับ
$2^{4} \equiv -1 \pmod{17}$
$(2^{4})^{3k^{2}} \equiv (-1)^{3k^{2}} \pmod{17}$
จากจุดนี้ก็คงต้องแยกกรณี k เป็นคู่กับคี่ครับ (คือถ้าเป็นคู่จะคอนกรูเอนท์ 1 มอดุโล 17 แต่ถ้าเป็นคี่จะคอนกรูเอนท์ -1นั่นคือ 16 มอดุโล 17ครับ)

ข้อที่ 3 นี่ปนคอมบินาทอริคครับ คือใช้หลักรังนกพิราบแก้ได้...
(ผมไม่แน่ใจว่าถ้าใช้ Euler $\Phi$-function จะแก้ออกหรือเปล่า แต่ถ้าใช้หลักรังนกพิราบนี่ออกแน่ๆ)

:unsure:so I just do case that k is a even number right? and is it correct:confused:
3.not sure
$111...111=10^{k}+10^{k-1}+...+1=\frac{10^{k+1}-1}{9} \equiv (2\times5)^{k+1}-1\equiv 0(modn)$
$\because$n is odd and (n,5)=1$\therefore 10^{\phi{n}} \equiv 1(modn)$
$\therefore k=\phi{n} -1$

ใช่ครับ ต้องทำกรณี k เป็นคี่อีกกรณีนึง
ข้อ 3 คิดว่าถูกครับ

Case2
$k$ is a odd number
$\therefore 4k^{2}\equiv 1(mod17)$
$(2k+1)(2k-1)=17m$
2.1$2k+1=17s$
$\therefore n=17s-1$
all n in this case is $\left\lceil\ \frac{1001}{17} \right\rceil=58$
2.2$2k-1=17t$
$\therefore n=17t+1$
all n in this case is $\left\lceil\ \frac{999}{17} \right\rceil=58$

from Case1,2 $\therefore$ all n is $58+58+58=174$

4.Find number of all $n$ that $0<n<1000$ that $x^{223}-x+n \equiv0(mod223)$ has answer

อืม... จาก 223 เป็นจำนวนเฉพาะ ก็ใช้ Fermat's Little Theorem
ได้ $x^{223}\equiv x\pmod{223}$
ก็เลยได้ว่า $n\equiv 0\pmod{223}$
$\therefore n=223,446,669,892$

5.$a_{n}=(n+1)2^{n}$จงหาคาของนึพจที่ติดมากที่สดที่ทกพจติดกันแปนkumlung song som boon

P.S. Could you show me how to solve the third problem with the pegion principle