|
IWYMIC 2000
1 ไฟล์และเอกสาร
กรุณาแนะนำวิธีพิสูจน์ข้อนี้ให้ด้วยนะคะ
ขอบคุณค่ะ |
แบบหยาบ ๆ ก่อนนะครับ ผมยังไม่ได้มองหาทางสวย ๆ แบบอื่น :haha:
แบบนี้จะผสมผสานเรขาคณิตวิเคราะห์ (Analytic geometry) กับ ตรีโกณมิติ(หรือรูปสามเหลี่ยมคล้าย) แบบรูปสามเหลี่ยมคล้ายล้วน ๆ ผมลองคิดดูแล้วมันยังไม่สวยเท่าไรครับ. สมมติว่าตั้งแกน x, y ที่จุด B โดยให้ BE = a, EA = b ดังนั้นพิกัดของจุดต่าง ๆ คือ B(0, 0), E(0, a) และ A(0, a+b) และเนื่องจาก EA = EA' ดังนั้น EA' = b และโดย ทบ. พีทาโกรัสจะได้ BA' = $\sqrt{b^2-a^2}$ และทำให้ได้ว่า $A'C = a+b-\sqrt{b^2-a^2}$ ความชันของ AA' คือ $-\frac{a+b}{b^2-a^2}$ แต่ EF ตั้งฉากกับ AA' ดังนั้นความชันของ EF คือ $\frac{\sqrt{b^2-a^2}}{a+b}$ สมการเส้นตรงที่ผ่านจุด E และ F คือ $\frac{y-a}{x} = \frac{\sqrt{b^2-a^2}}{a+b}$ จะหาพิกัดของ F โดยแทน x = a+b จะได้ y = $a+\sqrt{b^2-a^2}$ แต่ว่าพิกัดของจุด D คือ (a +b, a+b) แสดงว่า $FD = a+b - a+\sqrt{b^2-a^2} = b - \sqrt{b^2-a^2}$ ดังนั้น $FD' = FD = b - \sqrt{b^2-a^2}$ ถ้าให้มุม $BEA' = \theta$ จะได้ว่า มุม $GFD' = \theta$ ด้วย ดังนั้นในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก GFD' จะได้ $\frac{FD'}{FG} = \cos \theta = \frac{a}{b}$ ดังนั้น $FG = \frac{b}{a}(b-\sqrt{b^2-a^2})$ จึงได้ว่า $A'E + FG = b + \frac{b}{a}(b-\sqrt{b^2-a^2}) = \frac{b(a+b-\sqrt{b^2-a^2})}{a}$ ... (*) แต่ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก A'CG เราจะมี $\frac{A'C}{A'G} = \cos \theta = \frac{a}{b}$ ดังนั้น $A'G = \frac{b}{a}A'C = \frac{b}{a}(a+b-\sqrt{b^2-a^2})$ ... (**) เพราะฉะนั้น จาก (*) และ (**) แสดงว่า A'E + FG = A'G |
1 ไฟล์และเอกสาร
Individual, Section B, # 3 เฉลย 10,800
10,800 น่าจะเป็นผลบวกที่มากที่สุดของจำนวน a+b+c แต่โจทย์ถาม ผลบวกของเลขโดดที่มากที่สุดของ a+b+c ลองคิดดูแล้วได้ 18 แต่ไม่แน่ใจว่าจะถูกหรือไม่ ช่วยตรวจให้ด้วยนะคะ ขอบคุณค่ะ :) |
อ้างอิง:
|
มาลองพิสูจน์ดูครับ
ให้ $S(x)$ แทนผลบวกของหลักของ $x$ ให้ $2 \ | \ x$ ก่อนอื่นจะพิสูจน์เอกลักษณ์ $S(\dfrac{x}{2})=\dfrac{S(x)-O(x)}{2}+5O(x)$ เมื่อ $O(x)$ เป็นจำนวนหลักที่เป็นคี่ของ $x$ ให้ $x=\overline{x_1x_2...x_n}=\overline{y_1y_2...y_n}+\overline{z_1z_2...z_n}$ $y_i$ เป็นจำนวนคู่ที่มากที่สุดที่ไม่เกิน $x_i$ $z_i = x_i \pmod 2$ เช่น $6125432=6024422+101010$ จะได้ $\dfrac{x}{2} = \overline{\dfrac{y_1}{2}\dfrac{y_2}{2}...\dfrac{y_n}{2}}+\overline{(5z_1)(5z_2)...(5z_{n-1})}$ เช่น $3062716=3012211+50505$ $\dfrac{x}{2} = \overline{\dfrac{y_1}{2}(\dfrac{y_2}{2}+5z_1)...(\dfrac{y_n}{2}+5z_{n-1})}$ ไม่มีหลักใดต้องทด $S(\dfrac{x}{2})=\dfrac{y_1}{2}+\dfrac{y_2}{2}+\cdots+\dfrac{y_n}{2}+5z_1+5z_2+\cdots+5z_{n-1}$ จะได้ว่า $S(\dfrac{x}{2})=\dfrac{S(x)-O(x)}{2}+5O(x)$ เมื่อ $O(x)$ เป็นจำนวนหลักที่เป็นคี่ของ $x$ พิสูจน์ไม่ยากว่า $S(2(a+b+c)) =9$ $S(a+b+c)=\dfrac{S(2(a+b+c)))-O(2(a+b+c))}{2}+5O(2(a+b+c))$ มีหลักเป็นจำนวนคี่ใน $2(a+b+c)$ ได้ 1 หรือ 3 หลัก (เพราะผลบวกทุกหลักได้ 9) แทนค่า $S(2(a+b+c)) =9, O(2(a+b+c))=1,3$ จะได้ $S(a+b+c)=9,18$ ดังนั้น $S(a+b+c) \le 18$ |
$a \ | \ b$ แทน $b$ หารด้วย $a$ ลงตัวครับ เป็นสัญลักษณ์ที่ใช้กันทั่วไป
$ m \pmod n$ คือเศษที่เกิดจาก $m$ หารด้วย $n$ $a \equiv b \pmod n$ คือ $a$ และ $b$ หารด้วย $n$ เหลือเศษเท่ากัน ผลบวกจำนวนหลัก อันนั้นผมพิมพ์ผิดครับ ก็คือผลบวกเลขโดดน่ะแหละครับ ในบทพิสูจน์ผมไม่ได้เขียนอธิบายเท่าไร (เพราะยาวแล้ว) เดี๋ยวมาอธิบายตรงนี้ครับ ในจำนวนคู่ใดๆ เราสามารถเขียนในรูปผลบวกของสองจำนวน เช่น $3233472=2222462+1011010$ เมื่อเขียนในรูปนี้ก็จะหารด้วย 2 ได้สะดวกขึ้น หารด้วย 2 ทั้งสมการจะได้ $1111231+505505$ สังเกตว่าสำหรับ 505505 หลักจะลดไปหนึ่งหลักจาก 1011010 พอนำมาบวกกันหลักซ้ายสุดก็จะเหลือ $y_1$ เพียงตัวเดียวครับ 1111231 +505505 ดังนี้ (สังเกตด้วยว่าจะไม่เกิดการทดขึ้น) |
โจทย์เรขา ข้อแรก ใช้ excenter จะง่ายครับ
|
Individual, section B, # 1
1 ไฟล์และเอกสาร
$ สะท้อนวงกลมที่มี\; A \;เป็นจุดศูนย์กลาง รัศมี = AB \;\;ผ่าน \;EF \;จะได้วงกลมที่มี\; A? \;เป็นจุดศูนย์กลาง รัศมีเท่ากัน$ $ \because \;วงกลม\; A? \;สัมผัส\; AD \;\therefore \;วงกลม\; A \;สัมผัส\; A?D? $ |
1 ไฟล์และเอกสาร
( ต่อ )
$ A?C + CG + GA? $ $= A?C + CG + GP + PA? $ $= A?C + CG + GD + A'B $ $= BC + CD $ $= BC + A?D?$ $= BA? + A?C + A?G + GD? $ $ จะได้\; CG = BA? + GD?$ $ \triangle \;A?CG \sim \triangle \;BA?E \sim \triangle \;GD?F $ $ \because \;CG = BA? + GD? $ $ \therefore \;A?G = A?E + FG $ |
1 ไฟล์และเอกสาร
|
เคยคิดข้อนี้เมื่อนานมาแล้ว ลองดูว่าใช้ได้ไหม :)
ด้านหน้าการ์ด 10 ใบ เขียนจำนวน 2, 5, 17, 21, 24, 31, 35, 36, 42, x ผลรวมของจำนวนด้านหน้าการ์ด = 213 + x ให้ผลรวมของ 2 จำนวนที่ด้านหน้าและด้านหลังของการ์ดแต่ละใบเป็น y ด้านหลังการ์ด 10 ใบ เขียนจำนวน y-2, y-5, y-17, y-21, y-24, y-31, y-35, y-36, y-42, y-x ผลรวมของจำนวนด้านหลังการ์ด = 10y - (213 + x) 10y - (213 + x) = 213 + x 10y = 2(213 + x) จะได้ว่า x เป็นจำนวนที่ลงท้ายด้วย 2 หรือ 7 ถ้า x ลงท้ายด้วย 2 , x ที่เป็นไปได้คือ 12, 22, 32, 52 ถ้า x ลงท้ายด้วย 7 , x ที่เป็นไปได้คือ 7, 27, 37, 47 ยกตัวอย่าง ถ้า x = 12 จะได้ y = 45 แต่ 45 - 21 = 24 จะทำให้ด้านหลังของการ์ด 21 เป็น 24 ซึ่งไปซ้ำกับด้านหน้าของการ์ด 24 ดังนั้น x ไม่เท่ากับ 12 จำนวนที่เหลือก็ตรวจสอบในทำนองเดียวกัน ในที่สุดจะได้ว่า มีค่าที่ใช้ได้เพียงค่าเดียวคือ x = 37 ( y = 50 ) |
ขอบคุณมากค่ะ :please:
|
| เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 07:31 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha