พิสูจน์สูตรของผลบวกกำลัง n
Sum/difference of two $n^{th}$ powers
The above factorization of differences of powers can be extended to any positive integer power n by use of the geometric series. By noting that $x^{n-1}+x^{n-2}+...+x+1=\frac{x^n-1}{x-1}$ and multiplying by the (x − 1) factor, the desired result is found. To give the general form as above, we can replace x by a/b and multiply both sides by bn. This gives the general form for the difference of two $n^{th}$ powers as $a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+ba^{n-2}+b^2a^{n-3}+...+b^{n-2}a+b^{n-1})$ The corresponding sum of two nth powers depends on whether n is even or odd. If n is odd, b can be replaced by −b in the above formula, to give $a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}-ba^{n-2}+b^2a^{n-3}-...-b^{n-2}a+b^{n-1})$ รู้สึกส่วนหลังนี่มันไม่ชัดเจนในเหตุผลเท่าไร (หรือไม่เข้าใจเอง?) อยากจะทราบแนวทางพิสูจน์เลย หรือ จะยกบทพิสูจน์มาไว้ให้เลยก็ได้นะครับ เพราะตอนนี้กำลังทำโครงงานครับ ต้องใช้สูตรนี้ เลยอยากให้มีพิสูจน์ความถูกต้องด้วยครับ ขอบคุณครับ :) |
ก็ชัดเจนดีนะครับ คือเมื่อ $n$ เป็นจำนวนคี่ เราสามารถแปลงได้อีกสูตรนึงโดยแทน $b$ เป็น $-b$ ครับ
แต่ถ้าอยากได้วิธีพิสูจน์ตรงๆก็ทำเหมือนสูตรแรกครับ แต่เปลี่ยนเป็น $$x^{n-1}-x^{n-2}+x^{n-3}-...-x+1=\frac{x^n+1}{x+1}$$ เมื่อ $n$ เป็นจำนวนคี่ |
ที่คิดว่าไม่ชัดเจน เพราะไม่คิดว่ามันจะแทนกันได้ตรงขนาดนี้ = =
อยากทราบเพิ่มว่าจะต้องแสดงให้เห็นว่าสูตรนี้ใช้ไม่ได้กับจำนวนคู่? |
จริงๆแล้วมัมาจากตรงนี้ครับ
$$x^{n-1}-x^{n-2}+x^{n-3}-...+x-1=\frac{x^{n-1}\bigg(1-(-\frac{1}{x})^n\bigg)}{1-(-\frac{1}{x})}=\frac{x^{n-1}\bigg(1-(-\frac{1}{x})^n\bigg)}{1+\frac{1}{x}}=\frac{x^n\bigg(1-(-\frac{1}{x})^n\bigg)}{x+1}$$ ดังนั้น เมื่อ $n$ เป็นจำนวนคู่ $$x^{n-1}-x^{n-2}+x^{n-3}-...+x-1=\frac{x^n-1}{x+1}$$ เมื่อ $n$ เป็นจำนวนคี่ $$x^{n-1}-x^{n-2}+x^{n-3}-...-x+1=\frac{x^n+1}{x+1}$$ |
ขอบคุณ คุณ poper ครับ
แต่มาสำรวจเนื้อที่ในโปสเตอร์แล้วเนี่ย คงไม่พอที่จะใส่พิสูจน์ จึงอาจจะตัดไปครับ แต่อย่างน้อยก็มีความเข้าใจมากขึ้น จะได้อธิบายถูก เมื่อมีคนซักถาม (โครงงานที่ทำนี่คิดว่าไม่เป็นโครงงานเต็มตัว เพราะไม่มีรูปเล่ม) |
#4 รู้สึกจะต้องเป็น
อ้างอิง:
|
จริงด้วยครับ
ขอบคุณคุณ PP_nine ครับผม:please: |
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 07:37 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha