โจทย์ log จาก AVISO
 

น่าสนใจเลยเอามาฝากครับ บางข้อก็ยังไม่ได้คิดเลยครับ :sweat:

1. ให้ $a_0 = 1$ สำหรับ $n \in \mathbb{N} $ ให้ $a_n = 3^{2n-1}a_{n-1}$ ถ้า $\log_{\frac{1}{3}}a_0 + log_{\frac{1}{3}}a_1+.....+log_{\frac{1}{3}}a_n = -91$ แล้ว $n$ เท่ากับเท่าไร

2. จงหาเซตคำตอบของอสมการ$$\sum_{k=2}^{10}\dfrac{1}{\log_kx}\leqslant 1$$
3. จงหาค่า $x$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับอสมการ $$ [\log_3x-\log_{3^2}x+\log_{3^4}x-\log_{3^8}x+...] < 1$$

4. จงแก้อสมการ $\log_{x+\frac{1}{2}}x \leqslant \log_{\frac{1}{2}}x$

5. กำหนดให้ $\dfrac{\log x^2}{a^2-b^2} = \dfrac{\log y^2}{b^2-c^2}= \dfrac{\log z^2}{c^2-a^2}$ ค่าของ $\sqrt{xyz}$ เท่ากับเท่าใด

6. จงหาเซตคำตอบของสมการ $\sqrt[3]{2-\log x} +\sqrt[3]{1-2\log x} +\sqrt[3]{6+3\log x}=0$

7. ให้ $\log_627 =r$ แลพ $2^{\log_4576} = 2^{x+y}*3^{x-y}$ จงหาค่าของ $(3-r)\log_\sqrt{2}108-2r]^{xy} $

8. จงแก้ระบบสมการ $z^x = y^{2x} , 2^z = 2*4^x , x+y+z = 16$

9. จงหาค่า $x$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการ
$\sqrt{\dfrac{(\ln(x^{\ln x}))((\ln x)^2-\ln x^5) - 3(\ln x)(\ln x)+17\ln x - 10}{\ln(x^{\ln x})-3\ln x-10}} = 2\sqrt{2}\sin22.5^{\circ}\cos22.5^{\circ}$

แปลง $\log_{\frac{1}{3}}a_0 + log_{\frac{1}{3}}a_1+.....+log_{\frac{1}{3}}a_n = -91$
$\log_{\frac{1}{3}}(a_0a_1a_2a_3...a_{n-1}a_n)=\quad -91$
$(a_0a_1a_2a_3...a_{n-1}a_n)=\quad 3^{91}$

ลองเขียนพจน์ต่างๆดู
$a_1=3$
$a_2=3^{(1+3)}=3^{2^2}$
$a_3=3^{(1+3+5)}=3^{3^2}$
$a_4=3^{(1+3+5+7)}=3^{4^2}$
จนถึงพจน์ท้ายๆ
$a_{n-2}=3^{(1+3+5+7+...+2n-5)}=3^{(n-2)^2}$
$a_{n-1}=3^{(1+3+5+7+...+(2n-5)+(2n-3)}=3^{(n-1)^2}$
$a_n=3^{(1+3+5+7+...+(2n-5)+(2n-3)+(2n-1)}=3^{n^2}$

เนื่องจาก$1+3+5+7+9+...+(2n-1)=n^2$

$a_0a_1a_2a_3...a_{n-1}a_n=3^{1^2+2^2+3^2+4^2+..+n^2}$
นำค่าไปแทนใน $(a_0a_1a_2a_3...a_{n-1}a_n)=\quad 3^{91}$ จะได้ว่า

$1^2+2^2+3^2+4^2+..+n^2=91$

$\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} =91$
$n(n+1)(2n+1)=6\times 91$
$(n^2+n)(2n+1)=2n^3+3n^2+n=546$
$2n^3+3n^2+n-546=0$
$(n-6)(2n^2+15n+91)=0$
ได้ค่า$n=6$......จริงๆจะลองบวกตั้งแต่$1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2=91$ ก็ได้

ลืมๆเรื่องแก้อสมการlogไปบ้างแล้วลองทำแล้วกัน
$ [\log_3x-\log_{3^2}x+\log_{3^4}x-\log_{3^8}x+...] $
$=\left(\,1-\frac{1}{2} +\frac{1}{4}-... \right)(\log_3x) $

$=\frac{2}{3}\log_3x $

ดังนั้น....$\frac{2}{3}\log_3x <1$
$\log_3x<\frac{3}{2} $

$\log_3x<\log_33^{\frac{3}{2}}$

เนื่องจาก ฐานคือ $3$ มากกว่า $1$ จะได้ว่าเป็นฟังก์ชั่นเพิ่ม
$\log_ax_1<\log_ax_2 \rightarrow x_1<x_2 $ เมื่อ $a>1$

$x<3\sqrt{3} $

ผิดตรงไหนบอกด้วยแล้วกันครับ ลืมไปบ้างแล้ว

เขียนออกมาให้เห็นชัดๆก่อน
$\dfrac{1}{\log_2x}+\dfrac{1}{\log_3x}+\dfrac{1}{\log_4x}+...+\dfrac{1}{\log_{10}x}$

$=\log_x2+\log_x3+\log_x4+...+\log_x{10}$

$=\log_x(2\times 3\times 4\times ...\times 10)$

$\log_x(2\times 3\times 4\times ...\times 10)\leqslant 1$

$\log_{(2\times 3\times 4\times ...\times 10)}x\geqslant 1$

$x\geqslant 10!$

ลองมั่วๆทำดู ผิดตรงไหนบอกด้วยครับ

$x>0$ ดังนั้น $0<x<3\sqrt{3}$

สรุปบรรทัดสืแดงไม่ได้ครับ $log_x(10!)$ เป็นลบได้

ต้องแบ่งคิดเป็น 2 กรณี

จาก $log_x(10!)\leqslant 1\rightarrow log_x(10!)\leqslant log_xx$

กรณีที่ 1 ถ้า $0<x<1$ จะได้ $10!\geqslant x$

ดังนั้น $0<x<1$ และ $x\leqslant 10!$ จะได้ $0<x<1$

กรณีที่ 2 ถ้า $x>1$ จะได้ $10! \leqslant x$

ดังนั้น $x>1$ และ $x\geqslant 10!$ จะได้ $x\geqslant 10!$

ดังนั้นเซตคำตอบของอสมการคือ $(0,1)\cup [10!,\infty )$

นานๆเข้ามาที ตามธรรมเนียมต้องสวัสดีครับท่าน หมอกิตติ เข้าใจว่าท่านลืมไปว่า $x>0$ ด้วยครับ ก่อนไปก็ต้องกล่าว ขอบคุณ ที่ใช้บริการ :):)

ขอบคุณมากครับพี่เล็กกับซือแป๋หยินหยาง ที่ชี้ให้เห็นวิธีทำ ลองดุ่มๆทำดู อ่านของพี่เล็กแล้วได้ไอเดียแล้วครับ

ข้อนี้ผมขี้เกียจแก้สมการครับ
$n(n+1)(2n+1)=6\times91=6\times7\times13$ ดังนั้น $n=6$:D

$2logx=k(a^2-b^2)$---(1)
$2logy=k(b^2-c^2)$---(2)
$2logz=k(c^2-a^2)$---(3)
(1)+(2)+(3): $2(log(xyz))=0$
$xyz=1$
$\sqrt{xyz}=1$

$\log_{x+\frac{1}{2}}x \leqslant \log_{\frac{1}{2}}x$
$\log_{x+\frac{1}{2}}x- \log_{\frac{1}{2}}x\leqslant 0$
$\log_{x+\frac{1}{2}}x+ \log_2x\leqslant 0$
$\log_2x\left(\,\frac{1}{\log_2{x+\frac{1}{2}}}+1\right)\leqslant 0 $
$(\log_2x)(\log_2{(x+\frac{1}{2})})(1+\log_2{(x+\frac{1}{2})})\leqslant 0$
$(\log_2x)(\log_2{(x+\frac{1}{2})})(\log_2{2(x+\frac{1}{2})})\leqslant 0$
$(\log_2x)(\log_2{(x+\frac{1}{2})})(\log_2{(2x+1)})\leqslant 0$

พิจารณาเหมือนกรณีของอสมการ โดยที่เรารู้แล้วว่า $x>0$
หาจุดตัดบนเส้นจำนวน
$\log_2x=0\rightarrow x=1$
$\log_2{(x+\frac{1}{2})}=0\rightarrow x=\frac{1}{2}$
$\log_2{(2x+1)}=0\rightarrow x=0$

จะได้คำตอบว่า $\frac{1}{2} \leqslant x\leqslant 1$

เพียงมาบอกว่า ค่าของ x เป็น $\frac{1}{2}$ ไม่ได้ครับ

เพิ่มโจทย์แล้วนะครับ สำหรับผู้สนใจ

ขอบคุณซือแป๋หยินหยางครับ ผมลืมไปว่านิยามของฟังก์ชั่นลอกาธิทึมนั้น ระบุว่า$a\not= 1$
คำตอบจึงเหลือแค่$\frac{1}{2}<x\leqslant 1 $ ใช่ไหมครับ

ผมคิดว่าวิธีการหาคำตอบ เหมือนมั่ว ๆ ครับ

3 วงเล็บ คนละตัวแปร แต่เอามาพิจารณาบนเส้นจำนวนเดียวกัน (อาจจะทำแบบที่คุณหมอคิดได้ แต่ผมไม่รู้เองก็ได้ครับ)

คุณหมอ ลองคิด $(x-1)(y-2)<0$ หาคำตอบยังไงครับ

หรือ $(log_\frac{1}{2} x)(log_3(x+1))<0$ (คำตอบ http://www.wolframalpha.com/input/?i...%283%29%29%3C0)