100 โจทย์คณิต พิชิต Admission
 

หนังสือรวมข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัยของญี่ปุ่น คล้ายๆกับหนังสือรวมข้อสอบเข้าม.ต้นของญี่ปุ่น แต่เป็นระดับชั้นที่สูงกว่า :laugh: เพิ่งพิมพ์ครั้งแรก 1 ตุลาคม 2550 ที่ผ่านมานี่เอง ผมซื้อมาได้ครึ่งเดือนละ เพิ่งจะมีโอกาสลองทำเป็นบางข้อ เหมาะสำหรับเอาไว้ลับสมองเพื่อความมันดีครับ :yum:

Attachment 350

ตัวอย่างโจทย์

จำนวนและสมการ

• โจทย์ข้อที่ 1 (Doshisha University, Faculty of Law, 1981)
  
  แบ่งจำนวนเต็มตั้งแต่ 1 ถึง 12 ออกเป็น 2 กลุ่ม ให้เป็นกลุ่ม A และ กลุ่ม B แต่ละกลุ่มมีตัวเลขกลุ่มละ 6 ตัว สมมติให้ตัวเลขในกลุ่ม A เป็น $a_1 , a_2 , a_3 , a_4 , a_5 , a_6$ และตัวเลขในกลุ่ม B เป็น $b_1 , b_2 , b_3 , b_4 , b_5 , b_6$ ถ้าตัวเลข $b_1 , b_2 , b_3 , b_4 , b_5 , b_6$ มีตัวที่มีค่าน้อยกว่า $a_1$ อยู่เป็นจำนวน $m_1$ ตัว และในทำนองเดียวกันถ้าตัวเลขในกลุ่ม B มีตัวเลขที่มีค่าน้อยกว่า $a_2 , a_3 , a_4 , a_5 , a_6$ แต่ละกรณีเป็นจำนวน $m_2 , m_3 , m_4 , m_5 , m_6$
  
  จงแสดงให้เห็นว่า $(a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6) - (m_1 + m_2 + m_3 + m_4 + m_5 + m_6)$ จะมีค่าคงที่เสมอ ไม่ขึ้นอยู่กับวิธีการที่ใช้แบ่งตัวเลขเป็น 2 กลุ่ม คือกลุ่ม A และกลุ่ม B
  
  
• โจทย์ข้อที่ 2 (Tokyo University, First Round Examination, 1971)
  
  ตัวเลขที่ถูกต้องสำหรับเติมในช่อง $\square$ ด้านล่างคือตัวเลขอะไร
  $a , b$ เป็นจำนวนจริง จากสมการกำลังสอง
  (1) $x^2 + ax + b = 0$ และ (2) $ax^2 + bx + 1 = 0$
  ถ้าสมการทั้งสองมีรากเป็นจำนวนจริงเป็น $\lambda$ ร่วมกันแล้ว $\lambda = \square$ และ $a + b = \square$ แต่หากสมการทั้งสองมีรากที่ไม่ใช่จำนวนจริงแล้ว $a = \square$ และ $b = \square$ (หมายเหตุผู้เขียน: รากหมายถึงคำตอบของสมการ)
  
  
• โจทย์ข้อที่ 3 (Kinki University, School of Business Administration, 1984)
  
  บนเส้นกราฟพาราโบลา $y = x^2$ กำหนดจุด 2 จุด $A (a, a^2)$ และ $B (b, b^2)$ โดยที่ $a > b$ จงหาเงื่อนไขของ $a, b$ ที่ทำให้บนเส้นกราฟพาราโบลานี้มีจุด $C$ ซึ่ง $\angle ACB = 90^{\circ}$
  
  
• โจทย์ข้อที่ 4 (Tohoku University, 1976)
  
  กำหนดให้สมการกำลังสอง $x^2 + ax + b = 0$ มีคำตอบเป็นจำนวนเต็ม 2 ตัว ที่มีค่าเรียงต่อกัน และสมการกำลังสอง $x^2 + bx + a = 0$ มีคำตอบเป็นจำนวนเต็มที่เป็นบวก จงหาค่าของ $a, b$
  
  
• โจทย์ข้อที่ 5 (Tokyo Institute of Technology, 1974)
  
  กำหนดให้ $y = \frac{3}{4}x^2 - 3x + 4$ ในช่วง $a \leq x \leq b$ $(0 < a < b)$ จะมีค่า $a \leq y \leq b$ จงหาค่าของ $a, b$

ผมลองตีความใหม่ดูแล้วน่าจะใช่นะครับ
ลองอีกทีนะครับเป็นบางคำตอบนะครับอาจจะมีอีก $(a,b)=(-1,0) ,(-3,2)$

เงื่อนไขคือ $|a-b|\geq 2$

#3
a-b=2 ได้ครับ เช่น A(1,1), B(-1,1) จะมีจุด C(0,0) ที่สอดคล้องเงื่อนไขครับ อีกอย่างโจทย์บังคับ a>b อยู่แล้วครับ

ข้อ 2 เขียน $x^2+ax+b=(x-\lambda)(x-b/\lambda)$ แล้วกระจายจะได้ $a=-(\lambda+b/\lambda)$ แทน $a,\lambda$ ในอีกสมการจะได้ว่า
ในกรณีที่สมการมีรากเป็นจำนวนจริง $\lambda=1$ และั $a+b/\lambda=a+b=-\lambda=-1$
แต่หากสมการมีรากเป็นจำนวนเชิงซ้อน สมการที่สอดคล้องคือ $x^2-x+1=0$ ซึ่งทำให้ $a=-1,\ b=1$

ผมว่ามันยากกว่า Admission ปกตินะครับเนี่ย น่าจะเป็นสอบตรง ของแต่ละมหาลัยรึเปล่าครับ ??

5. (หากผมอธิบายงงๆไปหน่อย ขออภัยด้วยครับ นึกไม่ออกว่าจะเรียบเรียงแนวคิดยังไงให้ดีกว่านี้ ยังไงรบกวนเช็คด้วยครับ)
สมการพาราโบลา $y(x) = \frac{3}{4}x^2 - 3x + 4=\frac{3}{4}(x-2)^2+1$ มีค่าต่ำสุดคือ 1
เราต้องการหาบริเวณ $[a,b]^2$ ที่ $y(x)$ surjective
$y(x)$ มี Fix Points (มี $c$ ที่ y(c)=c) ที่ c=4/3,4
เพราัะ $y(x)$ เป็นฟังก์ชันเพิ่มเมื่อ $x\ge 2$ และเป็นฟังก์ชันลดเมื่อ $x\le 2$
เมื่อ $x>2$ ค่า $y$ จะเพิ่มเร็วกว่าค่า $x$ ซึ่งไม่ทำให้เกิดสี่เหลี่ยมจัตุรัส (ต้องการ $y'(x)=1$)
สี่เหลี่ยมจัตุรัสนี้กว้าง 3 หน่วย ดังนั้น $x=1=a,\ b=4$ คือคำตอบ

ผมลองทำเพียงโจทย์ข้อที่ 1 เท่านั้น ช่วงนี้ยุ่งมาก ไม่มีเวลาคิดเลย คงอีกสักสองสัปดาห์กว่าจะว่างมาคิดต่อ

สำหรับการตรวจเช็คคำตอบจากหนังสือ (ยังไม่ได้ตรวจสอบวิธีคิด เพราะอยากจะคิดเองก่อน :yum: )

โจทย์ข้อที่ 2 กรณีที่รากไม่ใช่จำนวนจริง คำตอบที่ได้ยังไม่ตรงกับในหนังสือ
โจทย์ข้อที่ 3 มีเงื่อนไขมากกว่า $|a-b|\geq 2$ ครับ เพราะมันมีกรณียกเว้นที่ใช้เงื่อนไขนี้ไม่ได้
โจทย์ข้อที่ 4 ยังมีคำตอบอื่นอีก
โจทย์ข้อที่ 5 คำตอบถูกต้องครับ

ว่าแต่ ไม่มีใครสนใจลองคิดข้อ 1 ดูหรือครับ สนุกดีนะครับ :laugh:

ข้อแรกเท่าที่ผมลองทด เพียงแค่แสดงว่า $\sum (a_i-m_i)=21$ สำหรับทุก combination ได้ก็จบครับ แต่ผมคิดได้เฉพาะ extreme case ยังคิดกรณีระหว่างกลางไม่ออก -_-'

ส่วนข้อสองกรณีรากไม่ใช่จำนวนจริง ตอนที่โพสต์ผมก็ไม่ค่้อยชัวร์นัก เดี๋ยวจะลองเช็คดูอีกที

หนังสือเล่นนี้คุ้นๆๆเคยเห็นอยู่ร้านขายหนังสือ

เอ เอาข้อความในหนังสือมาเปิดเผย งี้จะดีหรือครับ ระวังเรื่องลิขสิทธิ์นะครับ

เรื่องลิขสิทธิ์หรือครับ ผมกลับมองว่านี่เป็นการช่วยโฆษณาให้หนังสือขายดียิ่งขึ้น โดยไม่เก็บค่าโฆษณามากกว่า โจทย์ที่เอามาก็เป็นเพียงตัวอย่าง(เขียนไว้ชัดเจนแล้วว่า ตัวอย่างโจทย์)ให้ดูว่า มันมีความน่าสนใจให้ไปหาซื้อมาอ่านขนาดไหน หากไม่ยกตัวอย่างให้ดู ผมคนหนึ่งละที่ไม่รู้จะไปหาซื้อมาทำไม เพราะคิดว่ามันก็คงเป็นโจทย์ระดับข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัยทั่วไป ซ้ำซาก น่าเบื่อ :)

โจทย์ข้อที่ 1 วิธีที่ผมคิดไว้นะครับ

เรียงตัวเลขในกลุ่ม A จากน้อยไปมาก สมมติเป็น $a_1 , a_2 , a_3 , a_4 , a_5 , a_6$ ตามลำดับ

เมื่อพิจารณาตัวเลขเรียงลำดับจาก 1 ถึง 12 จะมีหน้าตาออกมาลักษณะนี้
$\cdots , b , b , a_1 , b , b , \cdots , b , b , a_2 , b , b , \cdots$
เราจะพบว่า
$m_1 = a_1 - 1$
$m_2 = m_1 + a_2 - a_1 - 1 = a_2 - 2$
$m_3 = m_2 + a_3 - a_2 - 1 = a_3 - 3$
$m_4 = m_3 + a_4 - a_3 - 1 = a_4 - 4$
$m_5 = m_4 + a_5 - a_4 - 1 = a_5 - 5$
$m_6 = m_5 + a_6 - a_5 - 1 = a_6 - 6$
หรือ $a_k - m_k = k$ นั่นเอง
ดังนั้น $\displaystyle{\sum_{k = 1}^{6} (a_k - m_k) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 +6 = 21}$ :yum:

สำหรับแนวคิดในหนังสือ

เริ่มต้นสมมติให้เรียงตัวเลขในกลุ่ม A แบบเดียวกับข้างบน
พิจารณาค่าของ $a_k$ เราจะพบว่า
มีตัวเลขในกลุ่ม A ที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ $a_k$ อยู่ $k$ ตัว
มีตัวเลขในกลุ่ม B ที่น้อยกว่า $a_k$ อยู่ $m_k$ ตัว (จากนิยามของ $m_k$)
จำนวนตัวเลขที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ $a_k$ มีทั้งสิ้น $a_k$ ตัว
ดังนั้น $a_k = k + m_k$ หรือ $a_k - m_k = k$
จากนั้นก็ทำต่อแบบเดียวกับข้างบน :rolleyes: