มีโจทย์ให้ช่วยหน่อยครับ 2 ข้อ
ช่วยหน่อยครับสองข้อนี้
$Prove \ that\ ,\ for \ n=1,2,3,...$ $$1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+...+\frac{1}{n!}<3$$ $Suppose\ the\ polynomial\ x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+...+a_n\ canbe \ factored \ into \ (x+r_1)(x+r_2)...(x+r_n)\ where \ r_1,r_1,...,r_n\ are \ real \ numbers.\ Prove\ that$ $$(n-1)a_1^2\geqslant2na_2$$ |
1. กำหนดให้ x เป็นจน.เต็มบวกซึ่ง x>3
จะได้ $x!>2^{x-1}$ $\frac{1}{x!}<\frac{1}{2^{x-1}}$ then... $1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+...+\frac{1}{n!}<1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+...+\frac{1}{2^{n-1}}$ $1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+...+\frac{1}{n!}<3-\frac{1}{2^{n-1}}<3$ |
ขออนุญาตละ index ในบางจุดนะครับ
ข้อสอง จาก $$\sum_{i=0}^n a_ix^{n-i}=\prod_{i=1}^n(x+r_i),\qquad a_0=1$$ เราจะได้ $$\sum r_i=a_1,\quad\textrm{และ}\quad\sum r_ir_j=a_2$$ ดังนั้นสิ่งที่ต้องการพิสูจน์ จึงเป็นการแสดงว่า $$(n-1)(\sum r_i)^2\ge 2n\sum r_ir_j$$ ซึ่งเป็นจริงเนื่องจากโดย Cauchy schwarz inequality $$\begin{eqnarray} n\sum r_i^2&\ge&(\sum r_i)^2\\ (n-1)\sum r_i^2&\ge&2\sum r_ir_j\\ (n-1)(\sum r_i)^2&\ge&2(n-1)\sum r_ir_j + 2\sum r_ir_j\\ &=&2n\sum r_ir_j\\ \end{eqnarray}$$ ปล. หากไม่เข้าใจว่ามาได้ยังไง ลองทดย้อนกลับดูนะครับ |
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 09:25 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha