ถามสมบัติของเลขยกกำลัง
 

ทำไม a^ -n = 1/ a^n ทำไมต้องกลับเป็นเศษส่วน ตามนิยามเลขยกกำลัง a^n = a*a*a...*a
ตามจำนวน n ตัว ซึ่ง n เป็นจำนวนเต็มบวก แล้วทำไมเลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังติดลบถึงมีความหมาย เช่น 3^ -3 แปลว่า 3 คูณกับตัวมันเอง -3 ครั้ง ซึ่งไม่มีความหมาย ผมถามครูแล้วครูก็บอกว่า มันเป็นกฎตายตัว ฮืม แล้วบทพิสูจน์สมบัติของเลขยกกำลังที่กล่าวมานี้มีไหม ช่วยหน่อยครับ :(

ก่อนอื่นต้องมาดูกฎข้ออื่นกันก่อนครับ เช่น 2ฤ2= 2^2 จริงไหมครับ
จึงไม่แปลกที่ เมื่อ n ฤ n = n^2
อย่างที่บอกไป การคูณคือนำเลขยกกำลังมาบวกกัน ซึ่งผมพิสุจร์ให้เห็นแล้วว่ามันถูก
ต่อไป 2 หาร 2 = 1 แล้ว ที่เลขยกกำลัง 1-1 =0 ซึ่ง 2 ^0 = 1

ทำไม a^ -n = 1/ a^n ก็มันเท่ากับ a^0/a^1 = เลขยกกำลัง ลบกัน ได้ -1 มันก็เขียนเป็น a^ -1 ได้และเขียนเป็น1/a^n ก็ค่าเท่ากัน แต่มันอยู่ที่การใช้กับโจทย์มากกว่าครับ
ที่ครูบอกว่าเป็นกฎตายตัวถูกต้องแล้วครับ

แล้วทำไมครูถึงให้จำไม่ยอมอธิบายให้นักเรียนที่ละเอียด :(

ไม่แปลกหรอครับที่อธิบายไม่ละเอียดอาจจะเป็นเพราะ
1)คนส่วนใหญ่ในห้องไม่ได้สนใจตรงจุดนั้นถ้าอธิบายตรงนั้นจะเสียเวลา
2)จริง ๆ แล้วคุณครูเองก็ยังไม่รู้ด้วยซ้ำครับว่าทำไมมันเป็นอย่างนั้น :)

ฮืม เขาปรับปรุงเรื่องครูนะว่าผ่านการทดสอบมาได้ไง สอนก็ไม่รู้เรื่อง อธิบายก็ไม่ได้ แย่จริงๆ :mad:

ก็อย่างที่สงสัยนั่นล่ะครับ. เพราะว่า $a^{-n}$ เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวกนั้น มันไม่สื่อความหมายภายใต้บทนิยาม ที่บอกว่า
$x^n = (x)(x)\cdots(x)$ สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก n

นอกจากนี้ $x^{-n}$ นั้นยังไม่มีความหมายเป็นแบบอื่น เราจึงสามารถนิยามมันให้มีความหมายขึ้นมาได้
โดยนิยามขึ้นมาใหม่ว่า $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$

ซึ่งเมื่อเรานิยามแบบนี้ขึ้นมา การใช้ทฤษฎีบทที่กล่าว $\frac{x^a}{x^b} = x^{a-b}$ เมื่อ a > b จึงสามารถใช้ได้อย่างอิสระมากขึ้น โดยไม่ต้องเฉพาะเจาะจงลงไปว่า a > b ครับ.

สรุป. มันไม่ใช่กฏ แต่เรียกว่าเป็น บทนิยาม (Definition) ดังนั้นจึงไม่มีอะไรต้องงงครับ. เรื่องแบบนี้ถ้าจะให้แม่นคงต้องนั่งอ่านกันยาวตั้งแต่ประวัติพีชคณิต ยุคดึกดำบรรพ์แบบไม่มีระบบสัญลักษณ์จนมาถึงระบบมีสัญลักษณ์ ซึ่งไม่ใช่เรื่องง่าย ๆ ที่คนๆเดียวจะรับรู้และจดจำได้ทั้งหมดนะครับ สงสัยโตขึ้นน้องต้องมาเรียนเอกคณิตศาสตร์แล้วล่ะ จะได้ช่วยอธิบายคนอื่นให้หายงงกับเรื่องที่เคยงงตอนเด็ก กลัวแต่ว่าพอโตขึ้นกว่านี้พอเห็นคณิตศาสตร์แล้วจะวิ่งหายจ้อยไปเสียก่อน :laugh:

ผมไม่หนีหรอกผมชอบคณิตศาสตร์แบบยากๆสุดๆ พวก อนุกรมอนันต์ แคลคูลัส การอินทิเกรต(ชอบมากๆสนุกดี) ลิมิตของฟังก์ชัน จำนวนเชิงซ้อน เซต ระบบจำนวนจริง และพวกพีชคณิตทั้งหลายครับ ถึงยากผมก็พยายามสังเกตก็เข้าใจแบบเชียดขาดเลย โดยเฉพาะการอินทิเกรตแบบซ้อนกัน :kaka:

เห็นด้วย ยิ่งเเก้ระบบมากเท่าไร คณิตก็เริ่มกลายเป็นวิชาท่องจำขึ้นเรื่อยๆ
ไม่ยอมพิสูจน์ให้บอกว่ากลัวนักเรียนไม่เข้าใจ(ไม่รู้ว่าครูเเกรู้หรือว่าไม่รู้กันเเน่)

ผมขอแจมด้วยคนนะครับ คงจะไม่ช้าจนเกินไป

จากหลักการที่ว่า $a^m \cdot a^n$ = $a^{m+n}$ โดยที่ $a \not= 0$ (ตรงนี้สำคัญมากนะ)

เราจะได้ว่า $a^n \cdot a^{-n}$ = $a^{n+(-n)}$ = $a^0$ = 1 (คูณกันได้ค่าเท่ากับ 1)

และเนื่องจาก $a^n \cdot \dfrac {1}{a^n}$ = 1 ดังนั้นเราสามารถสรุปได้ว่า $a^{-n}$ = $\dfrac {1}{a^n}$ ขอรับ :)

แทน $a=0$ จะได้ว่า $\frac{1}{x^b}=x^{-b}$ ตามต้องการ

มีคำแนะนำจากคุณหยินหยาง ผมเลยนำมาลงไว้ให้ดูกันเพราะละเอียดและชัดเจนดีมากครับ

ถ้าจะบอกว่า $a \not= 0$ ควรมีข้อความบอกด้วยว่า m,n เป็นจำนวนเต็ม เพราะข้อความก่อนหน้าสื่อไปในทาง m,n เป็นจำนวนเต็มบวก ถ้าเป็นเช่นนั้น $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ โดยที่ $a= 0 $ ได้
จริงๆ หลักที่ว่า $a^{-n}=\frac {1}{a^n}$ มีที่มาจากนิยามเริ่มต้นแบบนี้ครับ เริ่มจาก
ให้ $a$ เป็นจำนวนจริงใด $a*a*a*...*a$ (ทั้งหมด $n$ ตัว) ให้ใช้สัญลักษณ์เป็น $a^n$ และเรียก $a$ ว่าฐานของเลขยกกำลัง และเรียก $n$ ว่าเลขชี้กำลัง จะเห็นว่า $n$ ต้องเป็นจำนวนนับ ต่อมาลองพิจารณาดูว่าถ้า $a^m \div a^n = \frac{a^m}{a^n} =\frac{a*a*..a(m ตัว)}{a*a*..*a(nตัว)} $ ในกรณี $m>n$ จะเห็นว่า ตัวส่วนจะถูกตัดหมด ตัวเศษจะเหลือ $a$ อยู่ $m-n$ ตัว ดังนั้นกรณีนี้จะได้ว่า $a^{m-n}$ ถ้ากรณีที่ $m=n$ เราจะเห็นว่า ทั้งเศษและส่วนตัดกันหมด เหลือ 1 ซึ่งก็คือ $m-n =0$ ดังนั้น $a^0 = 1$ นั่นไม่ได้หมายความว่า มี $a$ อยู่ 0 ตัว แต่มีที่มาจากการหารนั่นเอง จึงเป็นเหตุให้มีการนิยามตามมาว่า $a^0 = 1$ และ $a \not= 0$ ต่อมา กรณี ถ้า $m<n$ ตัวเศษจะไม่พอให้ตัด จึงทำให้ได้ผลลัพธ์ $\frac{1}{a^{n-m}}$ ซึ่งก็เท่ากับ $a^{m-n}$ นั่นเอง จึงเป็นที่มาว่า $a^{-n} = \dfrac {1}{a^n}$ และทำให้มีเงื่อนไขว่า $a \not= 0$

เหตุผลทั่นเห็นแล้วอึ้งไม่มีข้อสงสัยเลยครับ ซึ้งในพระธรรม

อธิบายได้สุดยอดเลยคับ
รู้ซึ้งเลยละคับ

อื้มมม แต่เราว่าควรอธิบายนะ เพราะว่า .. ถ้ารู้ซึ้งจริงๆ ก็จะไม่ลืม