[Junior Balkan MO 2000] ช่วยทีครับๆงงมาก
 

จงหาจำนวนเต็มบวก (x,y) ทั้งหมดที่ทำให้

$x^3+y^3+(x+y)^3+30xy=2000$

$x^3+y^3+(x+y)^3+30xy=2000$
$(x+y)(2x^2+2y^2+xy)=2000-30xy$
$x+y=m,xy=n$ เมื่อ $m,n$ เป็นจำนวนเต็มบวก
$x^2+y^2=m^2-2n$
$m(2m^2-3n) =2000-30n$
$2m^3-2000=3n(m-10)$
$\frac{2m^3-2000}{3(m-10)}=n $
เมื่อ $m\not= 10$
$n=\frac{2(m^3-1000)}{3(m-10)} $
$=\frac{2(m^2+10m+100)}{3} $
จะได้ว่า $n$ เป็นจำนวนเต็มเมื่อ $3$ หาร $m^2+10m+100$ ลงตัว
กำหนดให้ $m=3a+b$ เมื่อ $a,b$ เป็นจำนวนเต็มบวกและ $0\leqslant b \leqslant 2 $
$m^2+10m+100=(3a+b)^2+10(3a+b)+100$
$=9a^2+6ab+b^2+30a+10b+100$
$=(9a^2+6ab+30a+9b+99)+(b^2+b+1)$
พจน์นี้จะหารด้วย 3 ลงตัวเมื่อ $b^2+b+1$ หารด้วย 3 ลงตัว
$b=0,b^2+b+1=1$
$b=1,b^2+b+1=3$
$b=2,b^2+b+1=7$
ดังนั้นเรารู้แล้วว่า $m=3a+1$
$x=m-y$
$y(m-y)=n$
$my-y^2=n \rightarrow y^2-my+n=0$
$y=\frac{m\pm \sqrt{m^2-4n} }{2} $
มาพิจารณา $n$
$n=\frac{2((3a+1)^2+10(3a+1)+100)}{3} $
$=\frac{2(9a^2+6a+1+30a+10+100)}{3} $
$=6a^2+24a+74$

$y=\frac{(3a+1)\pm \sqrt{(3a+1)^2-4(6a^2+24a+74)} }{2} $
$=\frac{(3a+1)\pm \sqrt{-295-90a-15a^2} }{2}$

เดี๋ยวมาทำต่อครับ อยู่เวรครับ เหลือแต่หาขอบเขตของค่า $a$
ยังไปต่อไม่ได้ เดี๋ยวขอคิดในกระดาษก่อนครับ

สวัสดีค่ะ ดิฉันมีข้อสงสัยค่ะ

ทำไม m ถึงไม่สามารถเป็น 10 ได้หรือคะ
กับ ถ้าลองหาค่าต่ำสุดของ $\frac{2m^3-2000}{3(m-10)}-n $ ดีไหมคะ

สวัสดีค่ะ ขอตัวไปจิบชาก่อนนะคะ (ฝากบอกคนอื่นด้วยค่ะ ว่าอย่าทานขนมที่ดิฉันเสแสร้งทำตกไว้)

ไปเจอเฉลยมาแล้วครับ เขาแยกตัวประกอบเฉยๆครับตามภาพประกอบ

ตัวข้อสอบจากข้อสอบนี่ครับ

ขอบคุณคุณ Banker มากๆครับอิอิ

ไหนคุณ Banker หรอครับ :confused:

ขอบคุณมากครับน้องScylla_shadow
ผมทำตอนนี้ใหม่
$2m^3-2000=3n(m-10)$
$2(m-10)(m^2+10m+100)-3n(m-10)=0$
$(m-10)\left[\,2(m^2+10m+100)-3n\right] =0$
จะได้ว่า $(m-10)=0$ หรือ $\left[\,2(m^2+10m+100)-3n\right] =0$
เดี๋ยวมาพิสูจน์ว่า $\left[\,2(m^2+10m+100)-3n\right] \not= 0$
ในกรณีที่ $\left[\,2(m^2+10m+100)-3n\right] =0$ เราจะได้ว่า
$n=\frac{2(m^2+10m+100)}{3} $
และ $y^2-my+n=0$
$y=\frac{m\pm \sqrt{m^2-4n} }{2} $
มาพิจารณา $m^2-4n=m^2-\frac{8(m^2+10m+100)}{3}$
$=-\frac{(5m^2+80m+800)}{3}$
เนื่องจาก $m>0$ ดังนั้น $-\frac{(5m^2+80m+800)}{3}<0$
ดังนั้น เมื่อ $\left[\,2(m^2+10m+100)-3n\right] =0$ สมการ $y^2-my+n=0$ ไม่มีคำตอบเป็นจำนวนจริง
ดังนั้นเหลือ $m=10$ กรณีเดียว