Limit
จงหาค่าของ Lim x---> infinity ของ [x]! / [x]^[x]
กำหนดให้ [x] คือ ฟังก์ชันปัดค่าลงเป็นจำนวนเต็มที่มากที่สุดที่มีค่าต่ำกว่า x |
เราอาจมองว่า \[\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{[x]!}{[x]^{[x]}} = \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n!}{n^n}\]
ต่อไปเราสามารถแสดงได้ว่า \[\frac{1}{n^n} \leq \frac{n!}{n^n} \leq \frac{1}{2^n}\left( 1+\frac{1}{n}\right)^n\] โดยอสมการ AM-GM \[\sqrt[n]{\frac{1}{n}\cdot \frac{2}{n} \cdot \frac{3}{n} \cdot ... \cdot \frac{n}{n}} \leq \frac{1}{n}\left( \frac{1}{n} + \frac{2}{n} + \frac{3}{n} + ... + \frac{n}{n}\right)\] ใช้สูตรผลรวมกับฝั่งขวา \[ \sqrt[n]{\frac{n!}{n^n}} \leq \frac{n(n+1)}{2n^2}\] ยกกำลัง n ทั้งสองข้างจะได้ว่า \[ \frac{n!}{n^n} \leq \frac{1}{2^n}\left( 1+\frac{1}{n}\right)^n\] |
สุดยอดค่ะ
ขอบคุณมาก คงต้องใช้ลำดับช่วยอะเนอะ แต่อยากจะรบกวนหน่อยว่า เจ้า 1/2^n (1 + 1/n)^n มันมี limit = 0 ได้อย่างไร อ้างอิงทฤษฎีไหนคะ |
ก็ $\displaystyle \lim_{x \to \infty}\frac{1}{2^x}=0$ และ $\displaystyle \lim_{x \to \infty}(1+\frac{1}{x})^x=e\rightarrow\therefore\lim_{x \to \infty}\frac{1}{2^x}(1+\frac{1}{x})^x=0\times e=0$
ถูกหรือเปล่าครับ:confused: |
อ้างอิง:
|
แบบนี้ก็ได้ครับ $$0\leq \frac{n!}{n^n}\leq \frac{1}{n}$$
|
อสมการของพี่ noonuii พิสูจน์ด้วย induction รึเปล่าครับ ?
|
$n\cdot n!=2\cdot 3\cdots n\cdot n\leq n^n$
|
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 05:18 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha