Infinite Series +++
 

จงหาค่าของ $\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{sin n\theta }{n!}$
ไม่รู้ว่าจะเริ่มยังไงดีครับ ... ช่วยเเนะนำทีครับ :please::great:

ลองดู $\displaystyle e^z=\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{z^n}{n!}$

ติดอยู่ที่ตรงนี้อะครับ .... ไปต่อไม่ถูกอะครับ

$\displaystyle e^{\cos\theta+i\sin\theta}=\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{\cos n\theta+i\sin n\theta}{n!}$

แล้วแยกออกมาเหรอครับ .... เอ๊ะ ..... ไปไม่ถูก !!!!!!!!!!

ผมไม่แน่ใจนะครับ
$e^{\cos\theta+i\sin\theta}=e^{\cos\theta}(cos(sin\theta)+isin(sin\theta))$
แล้วใช้ส่วนจิตภาพเอาอ่ะครับ

อ๋อ !!!!!!!!!! เข้าใจเเล้วครับ ... ขอบคุณครับ

หืม!!!
ยังไงอะครับผมยังงงอยู่ ช่วยอธิบายหน่อยครับ พอได้เหมือน #4 แล้วไปไงต่ออะครับ??:p

$$\displaystyle e^{\cos\theta+i\sin\theta}=\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{\cos n\theta+i\sin n\theta}{n!}$$
$$e^{\cos\theta}(cos(sin\theta)+isin(sin\theta))=e^{\cos\theta}cos(sin\theta)+ie^{\cos\theta}sin(sin\theta)=\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{\cos n\theta+i\sin n\theta}{n!}=\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{\cos n\theta}{n!}+i\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{\sin n\theta}{n!}$$
พิจารณา ส่วนจินตภาพ จับเท่ากัน จะได้ว่า
$$\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{\sin n\theta}{n!}=e^{\cos\theta}sin(sin\theta)$$

อ่อ!!ขอบคุณมากเนส:D:laugh: