ช่วยแสดงวิธีทำของสองข้อนี้ทีค่ะ (Diff&Integrate)
 

1. จงหาค่า f(x) จากสมการ f''(x)+2f'(x)-3f(x) = 0 โดยที่ f(0)=0, f'(0)=4

2. $\int x^nlogx dx $

ขอบคุณมากค่ะ

:kiki:

\[
\int {x^n \log xdx = \frac{{x^{n + 1} }}{{n + 1}}} \log x - \frac{{x^{n + 1} }}{{\left( {n + 1} \right)^2 }}+c
\]
หรือ
\[
\int {x^n \log \left( {ax} \right)dx = \frac{{x^{n + 1} }}{{n + 1}}} \log \left( {ax} \right) - \frac{{x^{n + 1} }}{{\left( {n + 1} \right)^2 }}+c
\]

$f''(x)+2f'(x)-3f(x) = 0 $
$y''+2y'-3y=0$
ได้สมการช่วยเป็น
$A^2 +2A-3=0$
$(A+3)(A-1)=0$
จึงได้ผลเฉลยทั่วไปคือ
$y=C_1e^x+C_2e^{-3x}$
$y'=C_1e^x-3C_2e^{-3x}$
จาก f(0)=0 และ f'(0)=4
จึงได้ $C_1+C_2=0,C_1-3C_2=4$
$C_1=1$ และ $C_2=-1$
จึงได้ผลเฉลยเฉพาะคือ

$$f(x)=e^x-e^{-3x}$$

อีกวิธี ใช้ Laplace Transform
จะได้ \[
L\left\{ {f^{''} \left( x \right)} \right\} + 2L\left\{ {f^' \left( x \right)} \right\} - 3L\left\{ {f\left( x \right)} \right\} = 0
\]
\[
s^2 F\left( s \right) - sf\left( 0 \right) - f^' \left( 0 \right) + 2sF\left( s \right) - 2f\left( 0 \right) - 3F\left( s \right) = 0
\]
\[
\left( {s^2 + 2s - 3} \right)F\left( s \right) = 4
\]
\[
F\left( s \right) = \frac{4}{{s^2 + 2s - 3}} = \frac{4}{{\left( {s - 1} \right)\left( {s + 3} \right)}} = \frac{1}{{s - 1}} - \frac{1}{{s + 3}}
\]
ดังนั้น \[
f\left( x \right) = L^{ - 1} \left\{ {\frac{1}{{s - 1}} - \frac{1}{{s + 3}}} \right\} = e^x - e^{ - 3x}
\]