[สอวน. มอ. หาดใหญ่ 2556] ข้อสอบคัดตัวแทนศูนย์ สอวน.มอ.หาดใหญ่ 56
 

$Inequality$
จงแสดงว่า
$1. \frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2}\geqslant \frac{y}{x}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}$

$2.6abc\leqslant ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$

$3.\frac{a^2}{2}+\frac{b^3}{3}+\frac{c^6}{6} \geqslant abc$

$Functional$ $Equations$

1.จงหาพหุนาม $p(x)$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการ
$p(x+2y)=p(x)+2p(y)-6$ , $\forall x,y\in \mathbb{R} $

2.จงหาฟังก์ชั่นทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการ
$f(m+2n)=f(2m)+f(n)$ ,$\forall m,n\in \mathbb{N}\cup \left\{\,0\right\} $

3.จงหาฟังก์ชั่นทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการ
$f(2xf(x)+f(y))=y+(f(x))^2+xf(x)$ ,$\forall x,y\in \mathbb{R} $

$Combinatorics$

1.แจกของเหมือนกัน 12 ชิ้น ให้เด็ก 3 คน จงหาจำนวนวิธีที่คนใดคนหนึ่งได้ของน้อยกว่าผลรวมของคนที่เหลือ

2.จงหาจำนวนวิธีการสร้างคำ 10 คำจากอักษร C O U N T โดยที่ผลรวมของจำนวนสระเป็นจำนวนคู่

3.ให้ $A=\left\{\,i,j\in \mathbb{N} \left|\,\right. 2^i 3^j\right\}$ จงแสดงว่า เมื่อสุ่มหยิบสิบสามจำนวนจาก A จะได้ผลคูณของสามจำนวนเป็นจำนวนกำลังสามสมบูรณ์

4.ให้ สี่เหลี่ยม ABCD (เป็นภาพนะครับ) กบตัวหนึ่งต้องการกระโดดจาก A ไป C โดยที่การกระโดดแต่ละครั้งต้องกระโดดไปที่จุดที่อยู่ข้างๆเท่านั้นและจะกระโดดไม่ได้อีกเมื่อไปที่จุด C จงหาจำนวนวิธีในการกระโดดโดยเริ่มที่จุด A และไปหยุดที่จุด C โดยกระโดดไปทั้งหมด 2014 ครั้ง

$Plane$ $Geometry$

1.ให้ P เป็นจุดภายใน สามเหลี่ยม ABC ลาก CP ไปตัด AB ที่จุด F

จงแสดงว่า $\frac{\Delta APC}{\Delta BPC } = \frac{AF}{BF}$ โดยที่ $\Delta ABC$ คือ พื้นที่รูปสามเหลี่ยม ABC

2.จากข้อ 1. จงพิสูจน์ ทฤษฏีบทของ เชวา

3.จงพิสูจน์บทกลับของทฤษฏีบทของ เชวา

4.สามเหลี่ยม ABC มี B เป็นมุมฉาก ให้ D เป็นจุดบนด้าน AC ที่ทำให้ AB = DC จงแสดงว่า เส้นแบ่งครึ่งมุม A และเส้นมัธยฐานที่ลากจาก B ตัดกันที่จุดจุดหนึ่ง

$Number$ $Theory$

1.จงหาเศษเหลือจากการหาร $2^{2014}$ ด้วย $6$

2.จงหาจำนวนนับ $n$ ทั้งหมดที่ทำให้ $n!+3$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์

3.จงหาจำนวนนับ $n$ ทั้งหมด ที่มีตัวประกอบเฉพาะอย่างน้อย 2 จำนวน และมีค่าเท่ากับผลบวกของตัวหาร 3 ตัวแรก

4.ให้ $p$ เป็นจำนวนเฉพาะ จงแสดงว่า มีจำนวนเต็มบวก $n$ ซึ่ง
$7\cdot 3^n+2^n-6^n \equiv 1 \pmod{p} $

5.ให้ $p$ เป็นจำนวนเฉพาะ จงหาจำนวนเต็มบวก k ที่มากที่สุด ซึ่ง $k\left.\,\right| p^9-p$ ,สำหรับทุกจำนวนเฉพาะ $p$

$Trigonometry$

1.จงหาค่าของ $\sum_{n = 45}^{89} \frac{1}{sin(n+1)sin(n)} $

2.จงหาค่าของ $cosA$ เมื่อ $arcsin(cotA)+arccos(cotA)+arctan(sinA)$= $\frac{\pi }{3}$

รู้สึกข้อ 3 Combi. กับ ตรีโกณข้อ 2 จะมีปัญหานะครับ เพราะ cotA =- sqrt2 ซึ่งเกิน โดเมน ของarcsin

ข้อ 2 ตรีโกณ อาจารย์ให้คะแนนทั้งคนที่หาคำตอบได้และคนที่ตอบว่าไม่มีคำตอบครับ

ซวยละไม่ได้เขียนว่าไม่มีคำตอบ TT

nt
2.1,3
3.6
4.p-3
5.30

#5 ข้อ $4$ ทำยังไงอะครับถึงได้ $p-3$

คูณ 36 2 ข้างครับ จะได้ $28\cdot 3^{n+2}+9\cdot 2^{n+2}-6^{n+2} \equiv 36 \pmod{p} $ เลือก $n+2 =\phi( p)$ ได้ว่า $n= p-3$

1. f(x)=cx+3 ; c is constant
2. No answer

FE ข้อ2 ตอบ f(x) = 0 ครับ แล้วก็ข้อ 3 ตอบ f(x) = x ครับ

จริงด้วยแฮะ :blood:

1.จงหาพหุนาม $p(x)$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการ
$p(x+2y)=p(x)+2p(y)-6$ , $\forall x,y\in \mathbb{R} $

ทำอย่างนี้ได้ปะครับ
$p(0)=3$
แทน $x=0$ จะได้ $p(2y)=2p(y)-3$
แทนกลับไปในสมการ จะได้
$p(x+2y)=p(x)+p(2y)-3$
ให้ $g(x)=p(x)-3$
จะได้ $g(x)+g(2y)=g(x+2y)$
แทน $z=2y$ จะได้ $g(x)+g(z)=g(x+z)$
ได้สมการสอดคล้องกับโคชี
$g(x)=cx$
$f(x)=cx+3$

ข้อ 2 ผมก็คิดคล้ายๆข้อแรกอะครับ
$m,n=0 \Rightarrow f(0)=0$
$m=0 \Rightarrow f(2n)=f(n)$
กลับมาที่โจทย์ $f(m+2n)=f(2m)+f(n)$
กลายเป็น $f(m+2n)=f(m)+f(2n)$
แทน $2n$ ด้วย $n$ สอดคล้องกับสมการโคชี
$f(2n)=f(n) \Rightarrow c=0$
$\therefore f(x)=0$

มันเป็นฟังก์ชันทางเดียวหรอครับ ถึงใช้โคชีได้ ?

ผมทำมาคล้ายกันครับ แต่ตอนสุดท้าย พยายามใช้สมบัติของพหุนามเพื่อแสดงให้เห็นว่า g(x+z) = g(x) + g(z) มีเพียง g(x) = cx โดยที่ c เป็นค่าคงตัว เท่านั้นซึ่งสอดคล้องกับข้างต้นอะครับ แสดงได้ไม่อยากครับ

ยังไงหรอครับ
แสดงว่าโคชี จาก $R\rightarrow R$ ไม่ได้ใช่มั้ยครับ