โจทย์อนุกรมที่เกี่ยวข้องกับ e
 

กำหนดให้ $e^x = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + ...$

1. จงหาค่าของ $\frac{1}{2!} + \frac{1}{4!} + \frac{1}{6!} + ...$
2. จงหาค่าของ $\frac{2}{1!} + \frac{3}{2!} + \frac{4}{3!} + \frac{5}{4!} + ...$

อีกข้อนึง ไม่เกี่ยว

1. จงหาค่าของอนุกรม $2\bullet 1! + 5\bullet 2!+ 10\bullet 3! + ... + (n^2+1)\bullet n!$

จาก \[
e = 1 + \frac{1}{{1!}} + \frac{1}{{2!}} + \frac{1}{{3!}} + ...
\]
\[
e^{ - 1} = 1 - \frac{1}{{1!}} + \frac{1}{{2!}} - \frac{1}{{3!}} + ...
\]
จะได้
\[
e + e^{ - 1} = \left( {1 + 1} \right) + \left( {\frac{1}{{1!}} - \frac{1}{{1!}}} \right) + \left( {\frac{1}{{2!}} + \frac{1}{{2!}}} \right) + \left( {\frac{1}{{3!}} - \frac{1}{{3!}}} \right) + ...
\]
ดังนั้น\[
\frac{1}{{2!}} + \frac{1}{{4!}} + \frac{1}{{6!}}+... = \frac{{e + e^{ - 1} }}{2} - 1
\]

$$\frac{2}{1!} + \frac{3}{2!} + \frac{4}{3!} + \frac{5}{4!} + ... = \sum \frac{n+1}{n!}=\sum \frac{n}{n!}+\sum \frac1{n!}$$

แนวคิดจัดให้อยู่ในรูปของ $\sum_{i = 1}^{n} [(n+1)^2-2n]n!$ แล้วจัดรูปอีกหน่อย จะกระจายได้โดยใช้หลักการของ telescoping
แล้วจะได้คำตอบคือ $n(n+1)!$

ผมขอต่อให้จบนะครับ
$$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac1{n!}=e^1-1$$
$$e^1=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+...=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+...=\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{(n-1)!}=\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n}{n!}$$
ดังนั้น
$$ \frac{2}{1!} + \frac{3}{2!} + \frac{4}{3!} + \frac{5}{4!} + ... =\sum \frac{n}{n!}+\sum \frac1{n!}=2e^1-1$$

แบบนี้ป่าวครับ
$\sum_{n = 1}^{n} (n^2+1)!=\sum_{n = 1}^{n}[(n+1)^2-2n]n!=\sum_{n = 1}^{n}(n+1)(n+1)!-2n(n)!=\sum_{n = 1}^{n}[(n+2)!-(n+1)!]-[2(n+1)!-2(n)!]=\sum_{n = 1}^{n}(n+2)!-3(n+1)!+2n!$
นำออกมากระจาย
$\sum_{n = 1}^{n}(n+2)!-3(n+1)!+2n!=[(n+2)!-3(n+1)!+2n(n)!]+[(n+1)!-3(n)!+2(n-1)!]+[(n)!-3(n-1)!+2(n-2)!]+...+[(4)!-3(3)!+2(2)!]+[(3)!-3(2)!+2(1)!]$
สังเกตุว่าพจน์สุดท้ายของวงเล็บใด้ยกเว้น 2 วงเล็บสุดท้ายจะ ตัดกันหมดภายใน 2 วงเล็บต่อไป แบบ telescoping อย่างที่คุณ หยินหยางได้ กล่าวไว้
จะเหลือ $(n+2)!-2(n+1)!+2(1)!-(2)!=(n+2)!-2(n+1)!=n(n+1)!