Mathcenter Forum

Mathcenter Forum (https://www.mathcenter.net/forum/index.php)
-   อสมการ (https://www.mathcenter.net/forum/forumdisplay.php?f=18)
-   -   ข้อสอบอสมการจากRomania (https://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=3280)

dektep 27 กันยายน 2007 21:59

ข้อสอบอสมการจากRomania
 
เป็นข้อสอบ Romania JBST 2007 ครับ
กำหนดให้ $a,b,c > 0$ และ $\frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{c+a+1} \geq 1$
จงพิสูจน์ว่า $a+b+c \geq ab+bc+ca$

Spotanus 30 กันยายน 2007 20:29

ผมว่าข้อนี้ยากนะครับ
คิดมาหลายวันแล้วยังไม่ออกเลย
(หรือว่า เราอ่อนเองหว่า?)

Erken 01 ตุลาคม 2007 16:37


dektep 01 ตุลาคม 2007 16:40

อ้างอิง:

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Erken (ข้อความที่ 23161)

$(a+b+1)(a+b+c^2)$ $\geq$ $(a+b+c)^2$

Erken 01 ตุลาคม 2007 21:02

Solution อีกแบบครับ
$$\sum_{cyc}(1-\frac{a+b}{a+b+1}) \geq 1 \Leftrightarrow 2 \geq \sum_{cyc}(\frac{a+b}{a+b+1}) = \sum_{cyc}\frac{(a+b)^2}{(a+b)^2+(a+b)} \geq$$ $$\frac{4(a+b+c)^2}{2\sum_{cyc}(a^2+ab+a)}$$ $$\rightarrow \sum_{cyc}(a^2+ab+a) \geq (a+b+c)^2 \Leftrightarrow a+b+c \geq ab+bc+ca$$

Spotanus 05 ตุลาคม 2007 08:51

โอย ผมละชอบโคชีจริงๆเลย สวยมาก
(แต่ทำไม่เคยออก "- -)


เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 05:09

Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha