Fighting for TMO12 !!
 

อยากให้ช่วยกันแชร์โจทย์ที่น่าจะเป็นแนวใน TMO12th กันครับ

ขอเปิดข้อแรกเลยนะครับ
กำหนดเลข $3,4,12$ เราสามารถเลือกเลขมา 2 ตัวจากในนี้คือ a,b แล้วเปลี่ยนเป็น $0.6a+0.8b$ กับ $0.8a-0.6b$ ได้
จงหาหรือพิสูจน์ว่าไม่มีวิธีที่จะเปลี่ยนเลข $3,4,12$ เป็นเลข $3,6,12$ ได้

เอ่อ...มันก็แค่ไล่ไปเรื่อยๆไม่ใช่เหรอครับ หรือผมเข้าใจโจทย์ผิด ผมได้ 0.6×4 + 0.8×12 = 12

2. จงหา $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ ทั้งหมดซึ่งสอดคล้องกับ

$1) \quad |f(0)| < |f(1)|$

$2) \quad f(x^3) = (f(x))^3$

$3) \quad f\left(\dfrac{x+y}{2} \right) = \dfrac{f(x) + f(y)}{2}$

ไล่อะไรยังไงครับ

ไล่ a กับ b เป็น 3 ,4 ,12 ครับ

เป็นโจทย์แนว TMO 2-3 ปีที่แล้วครับ
3. ให้ $a_1,a_2,...,a_{n-1} \ge 0$ และ $f(x)=x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+\cdots+a_{n-1}x+1$
ถ้าสมการ $f(x)=0$ มีคำตอบเป็นจำนวนจริงทั้งหมด จงพิสูจน์ว่า $f(2) \ge 3^n$

ลองเรียงลำดับมาหน่อยว่า ถนัดวิชาไหน+ทำโจทย์วิชาไหนสะสมไว้เยอะสุด

AL NT CB GE ถ้าให้เดาคงทำอสมการไว้เยอะสุด เรขาน้อยสุดใช่มั้ย?

ปีที่แล้วมันเฉลี่ยจำนวนข้อเท่าๆกันเลยนะ เรียงความยากตามเลขข้อด้วย

ไม่รู้ปีนี้จะเป็น 4 หรือ 6 ถ้ากลับไปเป็น 6 อารมณ์คงประมาณปีก่อนๆ

ตอนนี้ผมยังวิเคราะห์ลักษณะข้อสอบไม่ออก ยังไม่อยากโพสต์โจทย์อะไรทั้งสิ้น

ว่าแต่เหลือเวลาก่อนเดินทางไปอีกกี่วัน??

----------------------------------------

นอกจากปีล่าสุด ตอนนี้พยายามทำโจทย์เก่าย้อนหลังตั้งแต่ 8 9 10 11 ให้ครบยืนพื้นไว้ก่อนเลย

ส่วน 5 6 7 ทำแค่ของวันที่ 2 ก็พอครับ เดี๋ยวไม่ทัน :great:

เอ๊อ link อยู่นี่ http://www.posn.or.th/index.php?opti...=372&Itemid=82

เผื่อว่าจะวิเคราะห์ได้เร็วขึ้นนะครับ

โจทย์ปีนี้วันละ 5 ข้อครับ จะเป็นการทดลองเรื่องจำนวนข้อสอบในแต่ละวันว่าใช้กี่ข้อ

ถึงจะเหมาะที่สุดกับการแข่ง TMO เดี๋ยวปีหน้าเราจะมีข้อมูลจากการแข่งขันสามปีล่าสุด

ซึ่งใช้ข้อสอบวันละ 6,4,5 ข้อตามลำดับ มาช่วยวิเคราะห์และตัดสินใจ

กรรมการกลางในปีหน้าจะเป็นผู้เลือกจำนวนข้อสอบในแต่ละวันอีกครั้ง

และคงจะใช้การตัดสินใจครั้งนี้ในการแข่ง TMO ครั้งต่อไปอีกหลายครั้ง

สำหรับปีนี้ยืนยันว่าวันละ 5 ข้อครับ

ผมเขียนโจทย์ให้ใหม่อีกรอบแล้วกันครับ:o

กำหนดเลขเริ่มต้นคือ $3,4,12$

ในแต่ละตา เราสามารถเลือกเลขมาสองตัวจาก 3 จำนวนนี้คือ a,b แล้วเอา a,b ออก เปลี่ยนเป็น $0.6a+0.8b$ กับ $0.8a-0.6b$ แทน

เช่น $3,4,12$ เปลี่ยนเป็น $5,0,12$

และในตาต่อไป ก็ต้องใช้เลขของตาที่แล้วที่ได้มา คือ $5,0,12$ เลือกมา 2 ตัวแล้วเปลี่ยนตามกระบวนการเดิมต่อไป

จงหาวิธี หรือแสดงว่าไม่มีวิธี ที่จะเปลี่ยนเลข 3 ตัว จาก $3,4,12$ ไปเป็น $3,6,12$ ด้วยจำนวนตาที่จำกัด

ลองส่งมามั่งข้อนึงครับ :)

กำหนดให้ $a_1=0$ และสำหรับทุกจำนวนนับ $n>1$

$$a_n=a_{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor }+(-1)^{1+2+...+n}$$

จงหาจำนวนของจำนวนนับ $1000<n<2000$ ทั้งหมดที่ทำให้ $a_n=0$

วิชาอื่นก็ฝึกโจทย์พอพอกัน ส่วน คอมบิ ยังไม่ค่อยได้เรื่องเลยครับ:please:

ผมว่าทำจุดแข็งของเราที่ดีอยู่แล้วให้ดีขึ้นไปอีกดีกว่าครับ

เพื่อที่ว่าเราจะได้ทำคะแนนจากวิชาที่ถนัดได้ชัวร์ๆโดยที่ยังเหลือเวลาไปทำข้ออื่นน่ะครับ

จากที่คุณ nooonuii ข้างบนบอกมามันออกเป็น 5 ข้อ

แสดงว่าต้องมีโจทย์อย่างน้อย 1 วิชาที่ได้โควต้าออกเป็น 3 ข้อ

ถ้าให้เดาก็ combi อีกนั่นแหละครับ

ส่วน 3 วิชาที่เหลือผมมองว่ามีโอกาสออกเป็นข้อพิเศษได้พอๆกัน

-------------------------------------------------

ทำโจทย์แนวๆคุณ pol ไว้ก็ดีเหมือนกันครับ แนวๆ invariant ทั้งหลาย

อีกทีก็พวกโจทย์ตารางหมากรุก เล่นได้หลายมุขอยู่

combi มันกว้างอะครับ ไอเดียหลากหลายมาก

พยายามไปเก็บที่เราชัวร์ๆก่อนดีกว่า

ว่าแต่ยังเหลือเวลาเตรียมตัวกี่วัน??

ลองเอาโจทย์ง่ายๆไปลับคมทักษะสำคัญๆก่อนนะครับ

โจทย์วิชาอื่นๆ ที่ยากขึ้นไปเป็นขั้นๆ เดี๋ยวจะทยอยโพสต์มา พร้อม Hint+Routine Proof
--------------------------------------------------------
Warm Up Angle Chasing (1-9) Length Chasing (10)

1.วงกลม 2 วงตัดกันที่ A,B จุดศูนย์กลางของวงกลมอยู่ข้างเดียวกันกับ AB
C,D เป็นจุดบนเส้นรอบวงของวงกลมวงใหญ่ โยง AD,BC ตัดเส้นรอบวงของวงกลมวงเล็กที่ M,N
ต่อ CD,BM พบกันที่ P และต่อ AN,DC พบกันที่ Q พิสูจน์ ABQP เป็น concyclic

2.ให้ ABC เป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า M เป็นจุดข้างใน ABC และ AMN เป็นสามเหลี่ยมด้านเท่าอีกรูปหนึ่ง
ต่อ BM ไปพบ CN ที่ R พิสูจน์ ARNM เป็น concyclic (N ไม่อยู่บน AC)

3.AB เป็นคอร์ดของวงกลมศูนย์กลางที่ O และ P เป็นจุดบน AB ต่อ AP พบเส้นผ่านศูนย์กลาง
ซึ่งตั้งฉากกับคอร์ด AB ที่ M พิสูจน์ BOPM เป็น concyclic

4. ABC เป็นสามเหลี่ยม เส้นแบ่งครึ่งมุม B,C ภายในพบกันที่ M ภายนอกพบกันที่ N พิสูจน์ BMCN เป็น concylic

5.วงกลม 2 วงตัดกันที่ AB ให้ PAQ ลากผ่าน A ไปชนเส้นรอบวงที่ P,Q ลากเส้นจาก P,Q ไปพบ AB ที่ R
และตัดเส้นรอบวงกลมที่ M,N พิสูจน์ BMRN เป็น concyclic

6.ให้ ABC เป็นสามเหลี่ยม มี AD เป็นส่วนสูง ใช้ AD เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง เขียนวงกลมตัด AB,AC ที่ M,N
พิสูจน์ BCNM เป็น concyclic

7.ให้ ABC มี P,Q,R เป็นจุดกึ่งกลาง BC,AB,AC ตามลำดับ ลาก AN ตั้งฉาก BC พิสูจน์ PQRN เป็น concyclic

8.ให้ ABCD เป็นผืนผ้า ลาก MN ตั้งฉาก AC พบ AD,AB ที่ M,N พิสูจน์ BDMN เป็น concyclic

9.ให้ PQ เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางวงกลม ให้ PX,PY เป็นคอร์ด 2 เส้น
ถ้าต่อ PX,PY ไปพบเส้นสัมผัสวงกลมที่ Q ที่จุด M,N พิสูจน์ XYNM เป็น concyclic

10.ให้ ABCD เป็นสี่เหลี่ยม โดย ABC,ADC เป็นมุมฉาก และ AB=AD ต่อ AB ตัด CD ที่ P
ให้ Q อยู่บน AD เป็นจุดที่ทำให้ AP+AQ=AB+AD พิสูจน์ A,P,C,Q เป็น concyclic

ส่งอสมการมาให้ข้อนึง แต่งเองกับมือครับ

ให้ $a,b,c\in\mathbb{R}$ และ $t=\dfrac{b-c}{a}+\dfrac{c-a}{b}+\dfrac{a-b}{c}$ เป็นจำนวนจริงบวก จงพิสูจน์ว่า


และเครื่องหมายอสมการจะกลับข้างเมื่อ $t$ เป็นจำนวนจริงลบ

โจทย์แนวนี้เป็นโจทย์ที่น่าสนใจครับ เพราะว่าใช้ Identity พิเศษอย่างเดียวก็ออก