ข้อสงสัยเกี่ยวกับปริพันธ์
 

เรื่องของเรื่องคือ เราสามารถแสดงได้ว่า
\[\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}dx = \sqrt{\pi} \]
ถ้าเราใช้เงื่อนไขนี้พิจารณาการแปลงฟูริเยร์ของ $\;\; f(t)=e^{-t^2}\;$ ดังนี้
\[ \begin{array}{ccl}F(\omega) &=& \displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty}e^{-t^2}e^{-i\omega t}} dt = \int_0^{\infty}e^{-(t^2+i\omega t+(\frac{i\omega}{2})^2-(\frac{i\omega}{2})^2) }\\ &=& e^{-\frac{\omega^2}{4}} \int_{-\infty}^{\infty}e^{-(t+\frac{i\omega}{2})^2}dt \;\;... (*) \\ &=& \sqrt{\pi}e^{-\frac{\omega^2}{4}}
\end{array}\]
จุดที่ผมสงสัยคืออินทิกรัลใน $(*) $ นี่ เป็น Complex integration แต่ข้างบนอินทิกรัลตอนต้น มาใช้แล้วข้อสรุปยังคงได้เท่าเดิมได้ด้วยเหตุผลอะไรครับ

งงคำถามครับ :confused:

คือว่าอินทิกรัลเริ่มต้นมันคิดจาก Real line integration แล้ว อินทิกรัล (*) เป็น $e^{-(t+\frac{i\omega}{2})^2}$ เป็นเชิงซ้อนแล้ว การนำอินทิกรัลจากข้างบนมาใช้สรุปค่าจะมีปัญหาอะไรรึเปล่าครับ เพราะถ้าเป้น $e^{-(t+a)^2}\;\; a\in \mathbb{R}$ คงไม่มีปัญหา