ข้อสอบประกายกุหลาบ ม.ต้น ครั้งที่ 12 ปี 2557
 

เพิ่งได้รับข้อสอบจากผู้มีอุปการะคุณมาครับ ไม่เห็นมีใครโพสต์ เลยขอโพสต์แบ่งปันกัน
แต่ถ้าเจ้าของสิทธิ์ห้ามเผยแพร่ ต้องรบกวนแอดมินช่วยลบออกให้ด้วยนะครับ
ถ้าไม่ติดเรื่องใดๆ ก็เชิญลุยกันได้เลยนะครับ ^_^
พ่อตาเจมส์

ข้อแรก

$7^7\equiv 43\,mod\,100$

$7^7\equiv 7^{7^{7^{7^{.^{.^{.}}}}}}$

$\therefore 43\,$ เป็นคำตอบ

Attachment 15898

จำนวนอตรรกยะไม่มีคุณสมบัติปิดของการบวกลบคูณหาร ดังนั้น

ข้อก.ข.จ. ไม่ถูก

ข้อค. ถูก

ข้อง. ถูก เพราะ $0\times \sqrt{p}=0$

$2\times \sqrt{p}=2\sqrt{p}$

ข้อฉ. ถูก จากความสัมพันธ์สปส.และรากของสมการพหุนาม ใช้ Newton's identity จะเห็นง่าย

ตอบ ค. 3ข้อ

Attachment 15899
$199+195+...+15+11+7+3$

$\sum_{n = 1}^{50}4n-1$

$=4(\frac{50\times 51}{2})-50=5,050$

ข้อ7. $3k=\frac {\pi r^2}{2} $

ตอนที่ 2 ข้อ 7
$\sqrt[3]{20+14\sqrt{2} } + \sqrt[3]{20-14\sqrt{2} } $
$= \sqrt[3]{(2+\sqrt{2} )^3} + \sqrt[3]{(2-\sqrt{2} )^3}$
$= 2 + \sqrt{2} + 2 - \sqrt{2} $
$= 4$

ตอนที่ 2 ข้อ 11
$x^4-8x^3+30x^2-56x+56$
$=(x^2-4x+7)^2+7$
$=[(x-2)^2+3]^2+7$
$\therefore x=2$
$x^4-8x^3+30x^2-56x+56=16$

ตอนที่ 2 ข้อ 12
x=-2,-3,-4 ใช่หรือเปล่าครับ :confused::confused::confused:

ตอนที่ 2 ข้อ 14
จำนวนวิธี $= \frac{9!}{4!5!} = 126$ วิธี

ตอนที่ 1 ข้อ 11
$y = \frac{3}{4} (20-x)$
$xy = \frac{3}{4} (20x-x^2)$
$= \frac{3}{4} [-(x-10)^2+100]$
ดังนั้น $ xy $ จะมีค่ามากสุด เมื่อ $x=10$
$\therefore xy = \frac{3}{4} * 100 = 75$

สงสัยเฉลยข้อ 1 ครับ
7^7 = 43 (mod 100) ตรงนี้เช้าใจ
7^7^7 = 7^7 (mod 100) = 43 (mod 100)?
จากใช้ excel 43^7 = 7 (mod 100)
ดังนั้น น่าจะขึ้นกับว่า มี 7 กี่ตัวครับ

เข้าใจคลาดเคลื่อนนิดนึงนะครับ. :rolleyes:

$7^7 \equiv 43 \mod 100$ แสดงว่า $7^7 = 43 + 100t$

ดังนั้น $7^{7^7} = 7^{43+100t} = 7^{43} \cdot 7^{100t} = 7^{43} \cdot (7^4)^{25t} \equiv 43 \cdot 1 \mod 100 \equiv 43 \mod 100$

Note. $7^4 \equiv 1 \mod 100 \Rightarrow 7^{43} = (7^4)^{10} \cdot 7^3 \equiv 1 \cdot 43 \mod 100$

ลองจิ้มอันนี้ดูครับ. จิ้มเลย

ขอโทษนะครับ ลองเขียนโปรแกรมดูได้ดังนี้
import java.math.BigInteger;
public class mmMMM {

public static void main(String[] args) {
long kk=7*7*7*7*7*7*7;
BigInteger p=new BigInteger("1");
BigInteger k=new BigInteger(kk+"");
for(int l=1 ; l<=7;l++){
p=p.multiply(k);
System.out.println(l+" "+p);
}

}

}

ได้ผล

1 823543
2 678223072849
3 558545864083284007
4 459986536544739960976801
5 378818692265664781682717625943
6 311973482284542371301330321821976049
7 256923577521058878088611477224235621321607

อย่างแรกเข้าใจตรงกันหรือเปล่าครับ ผมดูโปรแกรมไม่ออกเท่าไร

อย่าง $2^{3^4} = 2^{81}$

แต่ถ้าเข้าใจผิด จะคิดว่า $2^{3^4} = 8^4$

ซึ่งไม่เท่ากันนะครับ :rolleyes:

ใช่เลยครับผมเข้าใจผิดเอง ขอโทษจริงๆ ครับ

สำหรับข้อ 1. $7^{7^{7^{{...}^{7}}}}$ ทั้งหมด 98 ตัว เป็นเลขคี่ ซึ่ง 7 ยกกำลังด้วยจำนวนบวกคี่จะหารด้วย 4 แล้วเหลือเศษ3เสมอ

แต่เลข 2 หลักสุดท้ายของ $7^k$ จะวนทุกๆ 4 ตัวคือ 07 49 43 01 ไปเรื่อยๆ คำตอบที่ถูกจึงเป็น 43 ครับ

สำหรับข้อ 12 ตอนที่ 3 มีอีกวิธีครับคือ จัดรูปแล้วเทคซิกม่าสองฝั่งให้มันตัดกันครับ