ผมคิดว่า แผนภาพต้นไม้น่าจะง่ายสุดแล้วแหละครับ อยู่ที่ว่านับถูกหรือไม่
|
อ้างอิง:
คือผมเห็นโจทย์ใน EMIC จะมีอยู่หลายข้อที่ถ้าใช้ ความสัมพันธ์เวียนเกิด ในการแก้ปัญหาแล้วจะทำได้ง่ายดายยิ่ง อีกทั้งแนวคิดของเรื่องนี้ ก็เข้าใจได้ไม่ยากนัก (หรือเปล่า :D ) ผมเลยแอบดัน(และผลัก :kaka: ) วิธีการแก้โดยใช้ความสัมพันธ์เวียนเกิดอยู่เนือง ๆ โดยคาดหวังว่าจะมีคนนำไปใช้ให้เคยชินจนเป็นเรื่องปกติ สัก 1 ใน 100 ก็ยังดี แม้ว่าตามเนื้อหาหลักสูตรปกติจะอยู่ในระดับอุดมศึกษา แต่ผมคิดว่าในเฉพาะส่วนของการสร้างความสัมพันธ์นี้ให้ได้นั้น ระดับประถมขึ้นไป ก็น่าจะไปได้ (แม้ว่าอาจจะฝืดไปบ้าง) ผมขอเฉลยดังนี้ครับ ============================================== ให้ $a_n$ แทน จำนวนของจำนวน n หลักที่สร้างจากเลขโดด 4, 5, 6 โดยไม่มี 4 สองตัวใด ๆ ติดกัน และไม่มี 6 สองตัวใด ๆ ติดกัน เราอาจจะแบ่งปัญหาในข้อนี้ ออกเป็น 3 กรณี คือ กรณีที่ 1. จำนวน n หลัก ดังกล่าว ขึ้นต้นด้วย 4 ให้เขียนแทนด้วย $a_{n, 4}$ กรณีที่ 2. จำนวน n หลัก ดังกล่าว ขึ้นต้นด้วย 5 ให้เขียนแทนด้วย $a_{n, 5}$ กรณีที่ 3. จำนวน n หลัก ดังกล่าว ขึ้นต้นด้วย 6 ให้เขียนแทนด้วย $a_{n, 6}$ ดังนั้น โดยกฎการบวก เราจึงได้ว่า $$a_n = a_{n, 4} + a_{n, 5} + a_{n, 6} ... (*)$$ กรณีที่ 1. ถ้าขึ้นต้นด้วย 4 4 _ _ _ _ _ ... _ แล้วจำนวน n - 1 หลักที่เหลือ ก็จะต้องขึ้นต้นด้วย 5 หรือ 6 เท่านั้น ซึ่งเราเขียนในรูปแบบเดียวกันได้ว่า $a_{n, 4} = a_{n-1, 5} + a_{n-1, 6}$ ... (1) กรณีที่ 2. ถ้าขึ้นต้นด้วย 5 5 _ _ _ _ _ ... _ แล้วจำนวน n - 1 หลักที่เหลือ ก็จะต้องขึ้นต้นด้วยอะไรก็ได้ ไม่ว่าจะเป็น 4, 5, 6 นั่นก็คือ $a_{n, 5} = a_{n-1}$ ... (2) กรณีที่ 3. ถ้าขึ้นต้นด้วย 6 6 _ _ _ _ _ ... _ แล้วจำนวน n - 1 หลักที่เหลือ ก็จะต้องขึ้นต้นด้วย 4 หรือ 5 เท่านั้น ซึ่งเราเขียนในรูปแบบเดียวกันได้ว่า $a_{n, 6} = a_{n-1, 4} + a_{n-1, 5}$ ... (3) แทนค่าจากสมการ (1), (2), (3) ลงในสมการ (*) จะได้ $$a_n = a_{n-1, 5} + a_{n-1, 6} + a_{n-1} + a_{n-1, 4} + a_{n-1, 5}$$ $$a_n = (a_{n-1, 4} + a_{n-1, 5} + a_{n-1, 6}) + a_{n-1} + a_{n-1, 5}$$ผลรวมในวงเล็บนั้น เราประยุกต์ซ้ำเหมือนสมการ (*) แต่ย้อนจากขวาไปซ้ายได้เป็น $$a_n = a_{n-1} + a_{n-1}+ a_{n-1, 5}$$$$a_n = 2a_{n-1} + a_{n-1, 5}$$และจากสมการ (2) แสดงว่า $a_{n-1, 5} = a_{n-2}$ (หรือจะใช้ความเข้าใจก็ได้) ดังนั้น $$a_n = 2a_{n-1}+a_{n-2}$$ และเนื่องจาก จำนวนหนึ่งหลัก ตามเงื่อนไขได้แก่ 4, 5, 6 นั่นคือ $a_1 = 3$ จำนวนสองหลัก ตามเงื่อนไขได้แก่ 45, 46, 54 55, 56, 64, 65 นั่นคือ $a_2 = 7$ ดังนั้น $a_3 = 2a_2 + a_1 = 2(7) + 3 = 17$ $a_4 = 2a_3 + a_2 = 2(17) + 7 = 41$ $a_5 = 2a_4 + a_3 = 2(41) + 17 = 99$ |
เป็นวิธีที่เจ๋งมากครับ พอจะมีโจทย์ประมาณนี้อีกไหมครับ
|
อ้างอิง:
อ้างอิง:
|
ข้อแรกได้469 อะครับผมไดิว่า
$a_n=3(a_{n-1})+a_{n-2}$ ปลขอบคุณมากครับสำหรับวิธีแบบนี้ เพิ่มอีกข้อ. ผมได้634 คิดได้ว่า $a_n=3(a_{n-1})+2(a_{n-2})$ |
อ้างอิง:
จัดให้อีกโดยไม่ต้องขอ :D ถ้าสนใจจะปวดหัวต่อก็ลองคิดดูได้นะครับ. :laugh: อ้างอิง:
|
ข้อแรกไม่ค่อยมั่นใจครับ
ผมได้ว่า $a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$ ข้อสองได้ $a_n=2a_{n-1}+a_{n-2}$ |
อ้างอิง:
ให้ $a_n$ แทนจำนวนของจำนวน n หลักที่สร้างจากเลขโดด '4', '5' โดยที่ไม่มี '5' สองตัวใด ๆ ติดกัน ให้ $b_n$ แทนจำนวนของจำนวน n หลักที่สร้างจากเลขโดด '4', '5' โดยที่มี '5' ติดกันอย่างน้อยสองตัวขึ้นไป จะได้ว่า $a_n + b_n = 2^n $ ... (*) ดังนั้น $b_n = 2^n - a_n$ แต่เนื่องจากเราทราบว่า $a_n = a_{n-1} + a_{n-2}$ ดังนั้น $b_n = 2^n - (a_{n-1} + a_{n-2})$ ... (**) แต่จากสมการ (*) เราได้ว่า $a_n = 2^n - b_n$ ประยุกต์สมการนี้กับสมการ (**) จะได้ $b_n = 2^n - (2^{n-1} - b_{n-1} + 2^{n-2} - b_{n-2})$ ดังนั้น $b_n = b_{n-1} + b_{n-2} + 2^{n-2}$ โดยที่ $b_1=0, b_2 = 1$ เป็นความสัมพันธ์เวียนเกิดที่ต้องการ |
อ้างอิง:
ขอบคุณมากครับ:please: |
:please::please:ขอบคุณค่ะ:please::please::kiki:
|
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 02:04 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha