ช่วยทีครับ max min ของจำนวนเชิงซ้อน
ให้ $|z-3-2i|=1$ จงหา ค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดของ$|z+1+i|$
ข้อนี้ผมใช้อสมการแก้อะครับ จาก $$|z-3-2i|=|z+1+i+(-4-3i)|$$ $$\because |z+w|\leqslant |z|+|w|$$ $$\therefore |z+1+i+(-4-3i)|\leqslant |z+1+i|+|-4-3i|$$ $$1\leqslant |z+1+i|+5$$ $$|z+1+i|\geqslant -4$$ จาก $$|z-3-2i|=|z+1+i-(4+3i)|$$ $$\because |z-w|\geqslant |z|-|w|$$ $$\therefore |z+1+i-(4+3i)|\geqslant |z+1+i|-|4+3i|$$ $$1\geqslant |z+1+i|-5$$ $$|z+1+i|\leqslant 6$$ ผมอยากทราบว่า วิธีนี้เป็นที่ยอมรับรึปล่าวครับ เห็นส่วนใหญ่เค้าใช้กราฟกัน |
ข้อนี้คำตอบได้เท่ากัน แต่โดยสามัญสำนึก :kaka: ผมคิดว่าน่าจะเป็นจริงแค่บางกรณี
ในกรณีอื่นน่าจะได้ขอบเขตที่กว้างไป :rolleyes: ซึ่งอันนี้ผมยังไม่ได้ลองแต่งโจทย์ที่จะทำให้วิธีการแบบนี้ผิดพลาดนะครับ เดี๋ยวขอผมหาเวลาแต่งโจทย์ก่อน. |
โอ้ขอบคุณครับ:happy:
ว่าแต่มันเพี้ยนๆตรงที่ว่า $|z-w|\geqslant |z|-|w|$ แต่ $$|z-w|=|-(w-z)|=|w-z|\geqslant |w|-|z|$$ $$\therefore |z-w|\geqslant |w|-|z|$$ แต่เราต้องการเฉพาะค่าที่มากกว่าหรือเท่ากับศูนย์เท่านั้นอ่าครับ... |
อ้างอิง:
|
แนวคิดถูกแล้วแต่ยังเริ่มผิดที่
$|z+1+i|=|z-3-2i+4+3i|\leq |z-3-2i|+|4+3i|=6$ $|z+1+i|=|4+3i+z-3-2i|\geq |4+3i|-|z-3-2i|=4$ |
อ้างอิง:
ว่าแต่...เราสามารถสรุปได้เลยไหมว่า $|z+1+i|\geqslant 4$ จะได้ $|z+1+i|$ มีค่าต่ำสุดคือ $4$ |
อ้างอิง:
แต่สรุปค่าต่ำสุดต้องทำอะไรอีกนิดหน่อย เราต้องหา $z$ ที่ทำให้ $|z+1+i|= 4$ โดยที่ $|z-3-2i|=1$ ด้วย จากเงื่อนไขการเป็นสมการของอสมการสามเหลี่ยมเราจะได้ว่า $z-3-2i=\lambda(4+3i)$ สำหรับบางจำนวนจริง $\lambda$ แทนลงไปในสมการ $|z+1+i|=4$ จะได้ว่า $|\lambda+1|=\dfrac{4}{5}$ ดังนั้น $\lambda=-\dfrac{1}{5},-\dfrac{9}{5}$ แต่ $-\dfrac{9}{5}$ ใช้ไม่ได้(ทำไม?) จึงเลือก $z-3-2i=-\dfrac{1}{5}(4+3i)$ ก็จะได้ว่าค่าต่ำสุดเป็น $4$ จริงๆ |
เปลี่ยนจาก$$|z-w|\geqslant |z|-|w|$$
เป็น $$|z-w|\geqslant ||z|-|w||$$ ได้ไหมครับ |
ก็ได้เหมือนกันครับ
|
อ้างอิง:
คุณ noonuii มีวิธีคิดลัดแปลกๆมาแสดงเสมอ เป็นประโยชน์มากครับ ขอบคุณที่มาสร้างปัญญาให้ |
อ้างอิง:
|
มาจากสมบัติ
$|z+w|=|z|+|w|$ ก็ต่อเมื่อ $z=\lambda w$ บางจำนวนจริง $\lambda$ ความหมายเชิงเรขาคณิตก็คือ $0,z,w$ อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน |
อ้างอิง:
ตรง จากเงื่อนไขการเป็นสมการของอสมการสามเหลี่ยมเราจะได้ว่า $z-3-2i=\lambda(4+3i)$ สำหรับบางจำนวนจริง $\lambda$ $|z-3-2i+4+3i| = |z-3-2i| + |4+3i|$ $4 \not= 1+|4+3i|$ ไม่ใช่หรอครับ :o |
อ้างอิง:
$|z-w|\geq |z|-|w|$ สมการเกิดแบบเดียวกับอสมการก่อน |
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 00:48 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha