เรขาคณิต ค่ะ
 

มีวิธีทำแบบ ม ต้น รึเปล่านั้นดิฉันไม่แน่ใจค่ะ

กำหนดสามเหลี่ยม $ABC$ มี $AB=AC$
$M$ และ $N$ เป็นจุดบน $AB$ และ $AC$ ตามลำดับ
ถ้า $BM+MN+NC=3t$ สำหรับบางจำนวนเต็ม $t$
และ $MN$ ขนานกับ $BC$
จงหาพื้นที่ที่มากที่สุดของสี่เหลี่ยม $BMNC$

ดิฉันยังหาวิธีทำเรียบๆสวยๆ แบบ มต้นไม่ออกค่ะ
จึงมาโพสที่นี่ไว้ เผื่อมีบุคคลผู้มีไอ้เดียบรรเจิดมาแถลงค่ะ (ยิ้มอย่างผู้ดีเขินอาย:kaka: พลางจิบน้ำชาไปพลัน)

ว้ายยย ขออภัยค่ะ คำพูดในโจทย์นั้นอาจจะสื่อความผิด
ที่ดิฉันต้องการจะสื่อในโจทย์ข้อนี้คือ

สามเหลี่ยมหน้าจั่วที่ให้มานั้น ไม่ได้กำหนดมุม ABC มาด้วย (ทำให้มีมุม ABC ได้หลายค่า และมีสามเหลี่ยมได้หลายแบบ)
ในขณะเดียวกัน จุด M,N ซึ่ง MN//BC เป็นการบอกโดยนัยยะว่า BM=CN

ที่ดิฉันต้องการคือ ในบรรดารูปสามเหลี่ยมที่หลากหลายมหาศาลนี้ กับการกำหนดจุด M,N ที่หลากหลายเช่นกัน
สามเหลี่ยมแบบไหน กับ วางจุดทั้งสองอย่างไรให้พื้นที่มากที่สุดค่ะ
(คำตอบคือ สามเหลี่ยมด้านเท่า ยาวด้านละ 2t, M,N เป็นจุดกึ่งกลางด้านค่ะ จะได้พื้นที่ BMNC คือ $\frac{3 \sqrt{3} t^2}{4}$)

โจทย์คุณ Schylla_shadow ล้ำลึกเสมอเลย ผมก็เดาว่ามันคงเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า
แต่ยังหาวิธีพิสูจน์ออกมาให้เห็นชัดในรูปแบบสมการไม่ได้ คิดว่าkey wordอยู่ตรงจำนวนเต็มt

โจทย์พาราโบลานี่ครับ

ปล.จำนวนเต็มไม่ได้เกี่ยวอะไรด้วยเลย

ใช่ค่ะ ตอนที่หาพื้นที่ออกมา สามารถจัดเป็นรูปพาราโบลาได้
และสามารถหาค่าสูงสุดของพาราโบลาได้

แต่พอมาหาค่าสูงสุดของ ไอ้ค่าสูงสุดที่ได้อีกทีเนี่ย ดิฉันยังงหาวิธีแบบมต้นไม่ออกค่ะ

อันที่จริง ถ้าหาเราสะท้อน สี่เหลี่ยม BMNC ข้ามแกน BC
เราจะสามารถเปลี่ยนโจทย์เป็นหา พื้นที่มากสุดของหกเหลี่ยม BMNCN'M'
ซึ่งถ้าอ้าง Zenodorous theorem ไป
ก็ตอบได้เลยว่าเกิดเมื่อเป็นหกเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า ยาวด้านละ t
แต่ดิฉันรู้สึกว่ามันโกงไปค่ะ
ก็เลยนึกจะหา Grometric interpretation ของข้อนี้น่ะค่ะ ว่ามองยังไงดี ถึงจะจินตนาการออกมาได้บ้าง

(พลางหัวเราะคิดคักพองามแบบผู้ดีกำลังเขินอายเพราะมีคนจับไต๋ได้:sung:)

ผมยังมึนกับข้อนี้ ไม่ทราบชนิดของสามเหลี่ยม และให้BM+MN+NC=3t

ใช้ตรีโกณช่วย สุดท้ายยังเมาอยู่ ท่านใดจะช่วยให้กระจ่างกว่านี้ครับ

ให้ $x=A\hat BC$ และ $a=MB$ ดังนั้น $0<x<\dfrac{\pi}{2}$

จาก $(\sqrt{3}\sin x+\cos x)^2+(\sin x-\sqrt{3}\cos x)^2=4$

จะได้ $\sqrt{3}\sin x+\cos x\le2$

นั่นคือ $\dfrac{\sin x}{2-\cos x}\le\dfrac{\sqrt{3}}{3}$



และพื้นที่สี่เหลี่ยม $BMNC$ คือ $f(a,x)=(3t-2a+a\cos x)(a\sin x)$

จะได้ว่า $f(a,x)=-\sin x(2-\cos x)\left(a-\dfrac{3t}{2(2-\cos x)}\right)^2+\dfrac{9t^2}{4}\cdot\dfrac{\sin x}{2-\cos x}\le\dfrac{3\sqrt{3}}{4}t^2$

และ $f(t,\dfrac{\pi}{3})=\dfrac{3\sqrt{3}}{4}t^2$

ดังนั้นค่าสูงสุดของ $f(a,x)$ คือ $\dfrac{3\sqrt{3}}{4}t^2$

จาก $(\sqrt{3}\sin x+\cos x)^2+(\sin x-\sqrt{3}\cos x)^2=4$

จะได้ $\sqrt{3}\sin x+\cos x\le2$


ว้ายยย แรงค่ะ ดิฉันนึกไม่ถึงว่าสามารถทำแบบนี้ได้
ตอนแรกตอนพิสูจน์ ดิฉันเริ่มจาก $sin(\frac{\pi}{3}+x)\le1$ ซึ่งมันเกินมต้นไปนิสนึงค่ะ
แต่วิธีนี้ enlighten ดิฉันเลยค่ะ ขอบพระคุณค่ะ :please:

ใครเข้าใจส่วนที่เป็นตัวแดงว่ามายังไงช่วยอธิบายหน่อยได้ไหม ผมพยายามดูแล้วยังไม่เข้าใจครับ

จัดรูปธรรมดาๆเลยครับ

โอ้ คุณAmankris นี่สุดยอดจริงๆ เริ่มรู้ตัวว่าแก่ก็ตอนคิดเลขนี่แหละแต่ก็สนุกดี

เป็นโจทย์พาราโบลายากๆให้นักเรียนชั้นมัธยมต้นได้เลย :)