โจทย์ความน่าจะเป็น
 

คือ สงสัยมานาน ช่วยบอกวิธีทำด้วยนะครับ โจทย์มีอยู่ว่า

ในสี่เหลี่ยมผืนผ้ารูปหนึ่ง สุ่มจุดมาคู่หนึ่งแล้วลากเส้นเชื่อม แล้วก็สุ่มจุดมาอีกคู่หนึ่งในสี่เหลี่ยมเดียวกัน ลากเส้นเชื่อม ถามว่า ความน่าจะเป็นที่เส้นเชื่อมทั้งสองจะตัดกันเป็นเท่าใด

(ผมลองมั่วๆดูแล้ว ไดประมาณ 1/(2 x sqrt(3)) แต่มันดูไม่ค่อยจะถูกต้องเท่าไหร่)

ลองบอกแนวคิดที่ลองคิดดูมาหน่อยสิครับ.
ผมอ่านดูแล้วมันงง ชอบกล
เพราะการตัดกันมันมีได้หลายรูปแบบ
แล้วโจทย์จากที่ไหนครับ

โทษทีครับ ผมพิมพ์ผิดไป จริงๆแล้วผมมั่วได้ประมาณ 1 / (3 x sqrt(2)) ไม่ใช่ 1 / (2 x sqrt(3))

ก็ วิธีคิดของผม (มันผิดแน่ๆนะครับ) คือ เนื่องจากเมื่อเราสุ่มจุดมาสองจุดบนเส้นจำนวนในช่วง [a, b] จะได้ว่าผลต่างเฉลี่ยของสองจุดเป็น (b - a) / 3 ดังนั้น แสดงว่าความยาวเส้นตรงเฉลี่ยในแกน 2 มิติก็ควรจะเป็น sqrt((1/3)^2 + (1/3)^2) = sqrt(2) / 3 เมื่อคำนวณในสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีความยาวด้าน 1 หน่วย
จากนี้ ผมก็ลองมั่ว คิดให้เส้นตรงที่สุ่มได้เส้นแรกอยู่ตรงกลางของสี่เหลี่ยม เส้นตรงอีกเส้นจะตัดเส้นแรกได้ก็ต่อเมื่อจุดปลายทั้งสองอยู่คนละฝั่งกัน (ใช้เส้นที่ 1 เป็นตัวแบ่ง) ความน่าจะเป็นที่จุด 2 จุดอยู่คนละฝั่งกัน ก็ควรจะเป็น 1/2 ส่วน
แต่ ปัญหาคือ เส้นตรงเส้นแรก มีความยาวเป็น sqrt(2) / 3 ซึ่งสั้นกว่าแกนสมมติที่ใช้แบ่งฝั่งของจุด (ซึ่งประมาณว่ายาว 1) ความน่าจะเป็นที่เส้นที่สองจะตัดกับเส้นแรกเลยเป็น (sqrt(2) / 3) x (1 / 2) เลยได้ 1 / (3 x sqrt(2))

รบกวนบอกที่มาด้วยครับ.
โจทย์จากที่ไหน
ใครเป็นตั้ง
คืออย่างน้อยถ้าที่มามันน่าเชื่อถือ
ว่ามันมีคนเคยคิดและหาคำตอบออกมาได้จริง ๆ
ผมจะได้ลองนั่งคิดดูจริง ๆ จัง ครับ. :confused:

อ๋อ ครับ จริงๆแล้วมันเป็นโจทย์ของคอมพิวเตอร์น่ะครับ เค้าให้หาความน่าจะเป็นนี่แหละ แต่ให้ใช้คอมพิวเตอร์ทำ โดยสุ่มเส้นมา 2 เส้นแล้วตรวจสอบว่าตัดกันรึเปล่า แล้วก็สุ่มใหม่มาเรื่อยๆ บันทึกจำนวนครั้งที่มันตัดกันกับจำนวนครั้งที่ทดลองทั้งหมด นำมาหารกัน ผลที่ได้ประมาณ 0.22 (มันไม่ค่อยแน่นอนเพราะทดลองแค่ 10000 ครั้ง) ผมเลยคิดว่ามันน่าจะมีวิธีทางคณิตศาสตร์ที่แน่นอนกว่าน่ะครับ แต่คิดแล้วคิดไม่ออก ไม่รู้ว่าต้องคิดยังไง

ว่าแต่ ลากเชื่อมนี่
ลากเป็นเส้นตรง หรือ ส่วนของเส้นตรงเหรอ
แล้วมันก็น่าจะขึ้นอยู่กับ ขนาดสี่เหลี่ยมด้วยนา

มันก็ต้องส่วนของเส้นตรงสิครับ

ส่วนเรื่องขนาดสี่เหลี่ยม ผมว่ามันไม่น่าจะต่างกันนะ

ตกลงผมจะลองคิดดูซักตั้งนะครับ.
ถ้าออกก็จะบอก ท่าทางปวดหัวน่าดู
แต่ผมลองคิดดูคร่าว ๆ แล้ว ขนาดของสี่เหลี่ยมน่าจะมีผลนะ
เอาเป็นว่าผมจะลองตั้งสมมติฐานว่ามันเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสก็แล้วกัน
จะได้ simplified ขึ้นอีกหน่อย :eek:

คือผมก็จะลองคิดดูครับ

ผมลองใช้ Monte Carlo method ทำดูได้ผลแตกต่างจาก
ของคุณ tunococ มาก คือจากการทดลอง 10,000 ถึง
100,000,000 ครั้ง ค่าที่ได้ก็ตกอยู่ที่ 0.38 กว่าๆตลอดเลย
ขนาดของสี่เหลี่ยมผืนผ้าไม่มีผลใดๆต่อคำตอบ คำอธิบาย
อย่างง่ายๆก็คือ สมมติว่าเราเริ่มทำการทดลองกับสี่เหลี่ยม
จตุรัสได้ผลมาอันหนึ่ง แล้วเราจินตนาการการเรายืดสี่เหลี่ยม
จตุรัสอันนี้ให้กลายเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าผลการทดลองก็ยังคง
ต้องเหมือนเดิม - เสันที่เคยตัดกันมันก็ยังตัดกัน เส้นที่ไม่ตัด
กันก็ยังคงไม่ตัดกันอยู่ดี ผมก็อยากรู้มากเหมือนกันว่าโจทย์ข้อ
นี้มี analytic solution รึเปล่า แล้วก็อยากให้มีใครอีกสักคน
ลองทำ simulation ดูอีกสักครั้งว่าจะได้เท่าไหร่

ยังไม่ได้ simulation ดูเลย

เท่าที่ลองคิด มันติดหลายๆปัญหา เช่น ความน่าจะเป็นที่เส้นตรงทั้งสองนั้นแตะกัน (ไม่ได้ตัดข้ามกันไปเลย แต่ก็ถือว่าการแตะคือการตัดกันอย่างหนึ่ง) ยกตัวอย่างเช่น สมมติว่า เส้นตรงเส้นแรกที่สุ่มขึ้นมา บังเอิญเป็นด้านหนึ่งของสี่เหลี่ยมผืนผ้า ถามว่าความน่าจะเป็นที่เส้นตรงอีกเส้นที่สุ่มขึ้นมา จะไปตัด(หรือแตะ) กับเส้นตรงเส้นนี้เป็นเท่าไร ? หรือให้ง่ายไปกว่านั้น จงหาความน่าจะเป็นที่สุ่ม 2 จุดใดๆในสี่เหลี่ยมผืนผ้า แล้ว 2 จุดนั้นเป็นจุดเดียวกัน ? :confused:

เพื่อหลีกเลี่ยงปัญหานี้น่าจะแก้โจทย์เป็น ความน่าจะเป็นที่ เส้นตรงทั้งสองตัดข้ามกันไปเลย เป็นเท่าไร ?

ตามความเห็นของผมนะครับ - โดย measure theory
(ซึ่งผมเองก็ยังงูๆปลาๆอยู่) แล้วค่าความน่าจะเป็นที่เส้นสอง
เส้นจะแตะกันก็คือ 0 ส่วนความน่าจะเป็นที่สุ่มจุดขึ้นมาสอง
จุดแล้วเป็นจุดเดียวกันก็คือ 0 อีกเหมือนกัน เหตุผลก็ทำนอง
เดียวกับว่า ถ้าเราเลือกค่า x มาอย่างสุ่มจากช่วง [0,1] ถามว่า
โอกาสที่ x จะเท่ากับ 1 เป็นเท่าไหร่ คำตอบก็คือ 0 อะครับ
ถ้าเราเลือกเส้นตรงมาอันนึงอย่างสุ่มโอกาสที่ความชันของเส้น
ตรงนั้นจะเท่ากับ 1 ก็คือ 0 ถ้าเราเลือกจุดมาจุดหนึ่งจาก
สี่เหลี่ยมจตุรัส [0,1]x[0,1] โอกาสที่จะได้จุด (0.5,0.5) ก็
คือ 0 อีกเช่นกัน

ขอเล่าถึงวิธีทดลองแบบง่ายๆที่ผมทำหน่อยนะครับ
ในการทดลองแต่ละครั้งผมจะสุ่มเลขในช่วง (0,1) มา 8 ตัว
คือ a, b, c, d, e, f, g, h ถ้า a>c ก็จะสลับค่า a กับ c จาก
นั้นก็จะคำนวณหาจุดตัด (x,y) ระหว่างเส้นตรงที่ลากผ่านจุด
(a,b) ไปยัง (c,d) กับเส้นตรงที่ลากผ่านจุด (e,f) ไปยัง
(g,h) แล้วจึงเช็คว่า a < x < c หรือไม่ ถ้าใช่ก็แสดงว่าส่วน
ของเส้นตรงที่ลากจาก (a,b) ไปยัง (c,d) นั้นตัดกับส่วนของ
เส้นตรงที่ลากจาก (e,f) ไปยัง (g,h) ถ้าไม่ใช่ก็แสดงว่าส่วน
ของเส้นตรงทั้งสองไม่ตัดกัน ขอให้สังเกตว่าค่า y ไม่ได้ใช้
เลย และที่ผมทำจริงๆก็คำนวณแต่ค่า x ออกมาเท่านั้น

ใช่ครับ ความน่าจะเป็นที่เส้นตรงทั้ง 2 แตะกันคือ 0 และความน่าจะเป็นที่สุ่มแล้วได้จุดเดียวกัน ก็เป็น 0 อีกนั่นแหละ แต่คิดทีไรก็รู้สึกว่ามันแปลกๆชอบกล เพราะสิ่งใดก็ตามที่มีความน่าจะเป็น เป็น 0 นี่แสดงว่า ไม่มีโอกาสเกิดขึ้นได้เลย :confused:

เมื่อคืนลองกลับไปทำ simulation มาแล้ว :) จะขออธิบายรูปแบบที่ผมไปทำมานะครับ

จะสุ่มตัวเลขในช่วง [0,1] ออกมา 100 ค่า ดังนั้นสำหรับสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด 1*1 ตารางหน่วย จะได้พิกัด (x,y) ที่เป็นไปได้ทั้งสิ้น = 100*100 = 10,000 ค่า
เราจะทำการสุ่มพิกัดเหล่านี้ออกมาเป็น (x₁,y₁) , (x₂,y₂) , (x₃,y₃) , (x₄,y₄) จากนั้นลากส่วนของเส้นตรงระหว่าง (x₁,y₁) ไปยัง (x₂,y₂) และระหว่าง (x₃,y₃) ไปยัง (x₄,y₄) ถ้าให้การสุ่มพิกัดทั้ง 4 ออกมานี้นับเป็น 1 รอบ จะได้ว่า มันควรจะครอบคลุมทุกรูปแบบที่เป็นไปได้เมื่อ ทำไปถึงรอบที่ 10,000 ^ 4 = 100,000,000 รอบ (ขอโทษด้วย ตอนคิดครั้งแรกมันเบลอๆ เลยได้คำตอบออกมาแบบนี้:P หากคิดให้ถูกจริงๆแล้วต้องทำการ simulation ไปเป็นจำนวนมากๆเลย 10^16 รอบ) แต่บางทีมันอาจยังไม่ครบทุกกรณีก็ได้ เพื่อเป็นการเผื่อเอาไว้ จึงทำไปที่ 2,147,000,000 รอบ (เผื่อไว้เต็มที่เลย :D)

1. หาจุดตัดของส่วนของเส้นตรงทั้งสอง (x,y) ตรวจสอบว่าส่วนของเส้นตรงทั้งสองขนานกันหรือไม่ (ดูจากจุดตัดว่าอยู่ที่ infinity หรือไม่)

1.1 หากพบว่าไม่ขนานกัน(แสดงว่ามันต้องไปตัดกันที่ไหนสักแห่ง) ก็ให้ตรวจสอบจากเงื่อนไขทั้ง 4 นี้

• (x - x₁)(x - x₂) <= 0 (ตรวจสอบว่า x อยู่ระหว่าง x₁ กับ x₂)
• (x - x₃)(x - x₄) <= 0 (ตรวจสอบว่า x อยู่ระหว่าง x₃ กับ x₄)
• (y - x₁)(y - x₂) <= 0 (ตรวจสอบว่า y อยู่ระหว่าง y₁ กับ y₂)
• (y - x₃)(y - x₄) <= 0 (ตรวจสอบว่า y อยู่ระหว่าง y₃กับ y₄)

หากพบว่า เป็นจริงทุกข้อ(จุดตัดจะต้องอยู่ระหว่าง (x₁,y₁) กับ (x₂,y₂) และ (x₃,y₃) กับ (x₄,y₄)) แสดงว่าส่วนของเส้นตรงทั้งสองตัดกันจริง แต่หากเป็นจริงเพียงบางข้อแสดงว่ามันไม่ตัดกัน (ต้องต่อความยาวของส่วนของเส้นตรงใดเส้นตรงหนึ่งออกไป จึงจะเจอจุดตัดนั้น)

1.2 หากพบว่าขนานกัน จะทำการตรวจสอบว่า ส่วนของเส้นตรงจาก (x₂,y₂) ไปยัง (x₃,y₃) ขนานกับ ส่วนของเส้นตรงจาก (x₁,y₁) ไปยัง (x₂,y₂) หรือไม่

1.2.1 หากพบว่าไม่ขนานกัน แสดงว่าส่วนของเส้นตรงทั้งสอง วิ่งขนานกันไป (ไม่ได้อยู่ในแนวเส้นตรงเดียวกัน) จึงไม่ตัดกัน

1.2.2 หากพบว่าขนานกัน ก็ให้ตรวจสอบจากเงื่อนไขทั้ง 2 ข้อนี้

• (x₁ - x₃)(x₁ - x₄) <= 0 และ (y₁ - y₃)(y₁ - y₄) <= 0 (ตรวจสอบว่า (x₁,y₁) อยู่ระหว่าง (x₃,y₃) กับ (x₄,y₄))
• (x₂ - x₃)(x₂ - x₄) <= 0 และ (y₂ - y₃)(y₂ - y₄) <= 0 (ตรวจสอบว่า (x₂,y₂) อยู่ระหว่าง (x₃,y₃) กับ (x₄,y₄))

หากพบว่าเป็นจริงข้อใดข้อหนึ่ง แสดงว่าส่วนของเส้นตรงทั้งสองตัดกันจริง(มันมีการทับซ้อนกัน) แต่หากไม่เป็นจริงเลย แสดงว่ามันไม่ตัดกัน (มันแค่อยู่ในแนวเส้นตรงเดียวกันเท่านั้น)

ผลจากการทดสอบไปได้ 2,147,000,000 รอบ พบว่า ความน่าจะเป็นที่เส้นตรงทั้ง 2 ตัดกันเป็น 23.117% ;)

ผมลองทำแบบเยกกรณีแล้วพบว่า
ไม่ว่าสี่เหลี่ยมที่ให้มาจะมีขนาดเท่าไร่ก็ตามจะไม่เป็นผลครับและผมแยกกรณีได้ดังนี้ครับ
1. ทุกด้านมีจุด 1 จุด ตัดกันได้ 1 กรณี และในเวลาเดียวกันเราสามารถลากเส้นให้ไม่ตัดกันได้ด้วย รวมความเป็นไปได้ 2กรณี
2. มี 1 ด้านที่มี 2 จุด เหตุการณ์เดียวกับข้อ 1 คือในเวลาเดียวกันเราก็สามารถลากให้ไม่ตัดกันได้ด้วย
3. มีด้านละ 2 จุด ก็เป็นเหตุการณ์เดียวกับ ข้อ 1,2
4. มี 1 ด้านที่มี 3 จุด จะได้ว่าเราไม่สามารถลากจุดสองจุดใดๆให้ตัดกันได้ กรณีนี้จึงมีเหตุการณ์ที่เป็นไปได้เพียง 1 กรณีเท่านั้น
5. ทั้ง 4 จุด อยู่รวมกัมสามด้านเป็นเหตุการณ์เดียวกับข้อ 4
เารจึงสรุปจาก 3 กรณีได้ว่า
ความน่าจะเป็นคือ
( 1+1+1+0+0)/(2+2+2+1+1)=3/8