|
ข้อสอบคัดเลือกผู้แทนศูนย์ สอวน. มหาวิทยาลัยเรศวร พ.ศ. 2555
ได้ไปเที่ยวค่ายที่ ม.นเรศวร มาครับ ได้เห็นโจทย์เลยจำมาฝากครับ :))
Number Theory 1. จงแสดงว่ามีจำนวนนับ $n$ เป็นอนันต์ตัวที่ทำให้ $1444...443$ (มี $4$ อยู่ $n$ ตัว) เป็นพหุคูณของ $1443$ 2. ให้ $m,n$ เป็นจำนวนนับที่มากกว่า $1$ จงแสดงว่า ถ้า $m\phi (m)=n\phi (n)$ แล้ว $m=n$ Combinatorics 1. จงหาจำนวนฟังก์ชันทั่วถึงจากเซต ${0,1,2,...,9}$ ไปยังเซต ${1,2,3,4}$ 2. มีจุด $10$ จุดอยู่ในสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีความยาวด้านละ $1$ หน่วย จงแสดงว่า ก) มี $2$ จุดที่ห่างกันไม่เกิน $\frac{\sqrt{2}}{3} $ หน่วย ข) มี $3$ ที่อยู่ภายในบริเวณวงกลมรัศมี $\frac{1}{2}$ หน่วย Inequality 1. จงหาค่า $K$ ที่น้อยที่สุดที่ทำให้ $$\left|\,ab(a^2-b^2)+bc(b^2-c^2)+ca(c^2-a^2)\right|\leqslant K(a^2+b^2+c^2)^2 $$ สำหรับทุกจำนวนจริง $a,b,c$ ใดๆ 2. ให้ $a,b,c$ เป็นจำนวนจริงบวก จงแสดงว่า $$\frac{1}{a\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{8}{bc}}}+\frac{1}{b\sqrt{\frac{1}{b^2}+\frac{8}{ca}}}+\frac{1}{c\sqrt{\frac{1}{c^2}+\frac{ 8}{ab}}}\geqslant 1$$ Geometry (มีข้อเดียวเพราะอีกข้อโจทย์ผิด) 1. สามเหลี่ยมสองรูปมีด้านขนานกันเป็นคู่ๆ และเส้นเชื่อมระหว่างจุดยอดที่สมนัยกันตัดกันที่จุดเดียว จงพิสูจน์ว่า เส้นออยเลอร์ (Euler line) ของสามเหลี่ยมทั้งสองรูปจะขนานกัน (อย่าเพิ่งใช้ Homothety นะครับ ลองทำแบบเนื้อหา สอวน. ดู :)) ) ถ้าจำได้อีกจะมาลงนะครับ |
รังนกถ้าดูโจทย์หนังสือ โลกคอมบินาทอริก ทำได้แน่นอนครับเหมือนกันเลย
คอมบิข้อ1เหมือนโจท์เก่า กทม เลยครับ |
อสมการคราวนี้โหดจริงๆครับเอา IMO ปี 2006 มาออกนี่สุดๆอ่ะครับ
คือถ้ามันเป็นจริงบวกจะดีในมาก ข้อ 2 เปลี่ยน a เป็น $\dfrac{1}{x}$ แล้วอัด Holder+Schur ก็ออกครับ หรือ Homogeneous ก็ได้ครับ |
NT ข้อแรกเอา Idea มาจาก TMO 7 วันแรก ครับ :D
ส่วนข้อที่สองก็เอา Ideaมาจาก Shortlist TMO 8 ครับ :)) ข้อสองพิจารณาจำนวนเฉพาะตัวที่มากที่สุดของ m กับ n ให้ดีๆครับ :D |
อ้างอิง:
คือผมว่าโจทย์ข้อนี้คือต้องการให้เราทำให้ที่เขาให้มาเป็น จริงบวกก่อนแล้วใช้ AM-GM ครับ เพราะตอนนี้ที่เรามีเลยและใช้ได้คือ Cauchy เท่านั้นแต่ก็ไปได้ไม่ไกล เราต้องพิสูจน์ว่า $$[(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)]^2 \leq K^2(a^2+b^2+c^2)^4$$ ให้ $x=a-b,y=b-c,z=a+b+c$ เราจะได้ $c-a=x+y,a^2+b^2+c^2= \dfrac{1}{3}(z^2+x^2+y^2+(x+y)^2)$ และเราจะได้ว่า $$\left(\,xyz(x+y)\right) ^2 \leq \dfrac{K^2}{81}(z^2+x^2+y^2+(x+y)^2)^4= \dfrac{K^2}{81}(z^2+2(x^2+y^2+xy))^4$$จากตรงนี้เราสามารถใช้ AM-GM ได้แล้วเพราะว่า $x^2,y^2,z^2 $ เป็นบวกแล้ว จากนั้นเราคิดแค่พจน์ $x,y$ ก่อนเพราะ $z$ เดี๋ยวค่อย Weight เอาก็ได้ (ตรงนี้คือที่มาได้ในห้องสอบ) และผมก็ลองใช้ Wolfram พิสูจน์ดูว่า $$\left(\,\dfrac{xy(x+y)}{2}\right) ^2 \leq \left(\,\dfrac{x^2+y^2+xy}{3}\right)^3 $$ จริงหรือไม่ (ลองไปกดดูละกันครับ) และได้ว่าจริง $$x^2y^2(x+y)^2 \leq 4\left(\,\dfrac{x^2+y^2+xy}{3}\right)^3 \cdot z^2 = \dfrac{1}{54}\left(\,x^2+y^2+(x+y)^2\right) ^3 \cdot z^2 $$ โดย Weight AM-GM จะได้ว่า $$\dfrac{1}{54}\left(\,x^2+y^2+(x+y)^2\right) ^3 \cdot z^2 \leq \dfrac{1}{162}\left(\,\dfrac{3x^2+3y^2+3(x+y)^2+3z^2}{4}\right)^4= \dfrac{1}{512}(z^2+x^2+y^2+(x+y)^2) $$ จับไปเท่ากันจะได้ $K= \dfrac{9}{16\sqrt{2}}$ |
สุดยอดครับ :great: ปีนี้ขอใหได้เข้า สสวท นะครับ :happy:
|
อ้างอิง:
ถึงทำได้ตอนนี้คะแนนคงไม่เพิ่มขึ้นหรอกครับ 55555 ยังไม่รู้ว่าจะติดหรือเปล่าเลยค่าย 3 อ่ะครับ :) พึ่งเจอน่าจะดูก่อนไปสอบ เฉลยของเขาบอกไว้อย่างงี้ครับ WLOG . suppose $p=a+b+c=1,q=ab+bc+ca,r=abc$ $\left|\,ab(a^2-b^2)+bc(b^2-c^2)+ca(c^2-a^2)\right|= |(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)|$ Then inequality desired takes the form $$\sqrt{q^2-4q^3+2(9q-2)r-27r^2} \leq k(1-2q)^2$$ LHS. L satisfies $$L=\sqrt{-27\left(\,r-\dfrac{9q-2}{27}\right)^2+\dfrac{4(1-3q)^3}{27}} \leq \sqrt{\dfrac{4(1-3q)^3}{27}}$$ Thus , we need to maximize the function $$f(q)=\dfrac{2(1-3q)\sqrt{3(1-3q)}}{9(1-2q)^2}$$ Differentiating this function gives $$f'(q)=\dfrac{-(6q+1)\sqrt{3(1-3q)}}{9(1-2q)^3}$$ The equation $f'(d)=0$ gives $q= -\dfrac{1}{6},q=\dfrac{1}{3}$ . It follows that $$f(q) \leq f(-\dfrac{1}{6})=\dfrac{9\sqrt{2}}{32}$$ for all $q \leq \dfrac{1}{3} $ |
#7 เก่งขนาดนี้ ถ้ามน.ไม่เลือกก็คงต้องเสียใจภายหลังเเหละครับ 555
|
มาอยู่ที่ค่าย สสวท เป็นเพื่อนหน่อยครับ เหงา 555
ว่าแต่ใครจำโจทย์ข้อไหนได้อีกก็ช่วยโพสต์ด้วยครับ |
ข้อ 2 NT ถ้าเราใช้ว่า $p\rightarrow q \equiv \sim q\rightarrow \sim p $ เเล้วมันเหมือนจะได้เลยอ่ะครับเหมือนจะบรรทัดเดียวจบ แต่ผมไม่ได้ใช้วิธีนี้นะ เพราะไม่หล้ามันสั้นไป 555
|
ศูนย์นี้โหดแฮะใช้ข้อสอบโอลิมปิกทั้งนั้นเลย
|
อ้างอิง:
|
อ้างอิง:
แต่ Algebra ไม่ยากมากครับ มีข้อนึงเคยเป็นข้อสอบคัดตัวแทนเก่าในค่ายตอน 2 ปีที่แล้วด้วยครับ ที่พูดมาจำโจทย์ไม่ได้ TT |
#12 เราก็สมมุติให้ $m\not=n\rightarrow m\phi (m)\not=n\phi (n)$ ซึ่งเห็นได้ชัดเเล้วว่าไม่เท่า (มั้งครับ) 555
|
อยากได้เฉลยข้อ 2 ทฤษฎีจำนวนอ่ะครับ
|
| เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 21:26 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha