ข้อสอบสมาคม 2547 ม.ปลาย
 

ไม่ได้ทำตอน 3 เลยครับ เปิดดูท่าทางน่ากลัว และน่าเกรงขาม อย่างมากมาย เลยเอาตอน 3 มาครับ


( ข้อ 27 ตอน 3)
กำหนด m และ n เป็นจำนวนเต็มบวกที่สอดคล้องกับสมการ
4m[4m+7] = 3n^2 + 2mn +14n + 2548
จงหาค่าของ mn

( ข้อ 28 ตอน 3 )
ให้ A1 , A2 , A3 , A4 เป็นพื้นที่ของวงรี [x - 25]^2/25 + [y - 47]^247
= 2004 ในควอตรันต์ที่ 1,2,3, 4 ตามลำดับ
จงหาว่า A1- A2+A3-A4 เท่ากับเท่าไร

มั่วแล้วผม สมาการวงรีคือ
[x - 25]^2/25 + [y - 47]^2/47

พอจะ scan เป็นรูปขึ้นมาได้หรือเปล่าครับ. จะได้มาช่วยเฉลยกัน ข้อ 28 นี้คุ้น ๆ นะครับ. อย่างกับในบอร์ดเราเคยเล่นกันมาครั้งหนึ่งแล้ว

ตอนแรกก็กะจะเอาลงหล่ะครับ
แต่ไม่รู้จะเอาลงยังไง พยายามอยู่นาน จนหมดความอดทน
รวมทั้งที่ scan มันเน่าๆ ท่าจะอ่านไม่ออก
เดี๋ยวจะลองทำดูอีกทีครับ

ตอน scan ถ้าเครื่องมีโปรแกรมเปิดรูป เช่น ACDSee ก็เลือก File --> Acquire Images ก็ไม่น่าจะมีปัญหานะครับ. ส่วนตอนเราจะเอารูปลงก็มากดตอบนี่ล่ะครับ. แล้วก็กด Browse ตรงปุ่มมุมขวาล่าง แล้วก็ Browse ไปยังที่ ๆ เก็บรูปที่เรา scan ไว้ในคอมน่ะครับ. ถ้าจะให้ง่ายก็ย้ายเอารูปที่ scan มาวางไว้บน Desktop ก่อนก็สะดวกน่ะครับ.

ก็ได้น้อง ๆ ที่ไปสอบมานี่ล่ะครับ. ที่ทำให้เรามีข้อสอบต่อยอดได้ทุกปี พยายามหน่อยนะครับ. ที่บ้านมีใครพอรู้เรื่องบ้าง เรียกมาช่วยกันก็ดี ไม่งั้นก็ง่ายที่สุด คือ เมล์แล้วแนบรูปมาให้พี่ที่ mathcenter@email.com เลยก็ได้ครับ. เดี๋ยวพี่เอาขึ้นบอร์ดให้เอง

ตกลงสมการวงรีของข้อ 28 นี่คือ
\[\frac{\left(x-25\right)^2}{25}+\frac{\left(y-47\right)^2}{47}=2004\]
ใช่เปล่าครับ

ข้อ 28 พี่เคยถามไว้นานมากแล้วละ ที่นี่ แต่ไม่ค่อยมีใครสนใจแก้ :( ทางสมาคมคงแก้เผ็ด ด้วยการนำมาเปลี่ยนแปลงตัวเลขซะใหม่ ให้เข้ากับปีปัจจุบัน :D

555...นั่นไงว่าแล้วว่าเคยเห็นโจทย์แบบข้อ 28 แต่ผมก็ทำไม่ได้อยู่ดี :p
ส่วนข้อ 27 เนี่ยถ้ามองออกว่า
4m(4m + 7) - 3n² - 2mn - 14n = (2m - n)(8m + 3n + 14) = 2548
ก็จะสามารถหาคำตอบออกมาได้ แต่ผมก็ยังคิดว่าข้อนี้อาจมีวิธีทำเด็ดๆนา... :rolleyes:

วิธีเด็ด ๆ ผมก็มองหาตั้งแต่แรกเหมือนกันครับ. แต่ดูเหมือนว่าโจทย์ข้อนี้จะจงใจให้ใช้พลัง คือ ถ้าเป็นแบบปกติที่เคยทำมา คือ ส.ป.ส ของ m² และ n² มันควรจะต่างกัน จะได้ง่าย ๆ ใครมีแนวคิดเด็ด ๆ ก็ลองบอกกันมาดูนะครับ.

ผมต่อแนวคิดของคุณ waut : 2548 = (2)(2)(7)(7)(13) และ 8m + 3n + 14 ณ 8 + 3 + 14 = 25 นั่นคือ ถ้าแยกตัวประกอบของ 2548 ออกเป็น 2548 = ab ไม่ a ก็ b อย่างน้อย ต้องมีค่าไม่ต่ำกว่า 25 ซึ่งในเบื้องต้นจะพบว่ามีได้ 4 แบบใหญ่ ๆ คือ

(2ด13)(2ด7ด7)
(7ด7)(2ด2ด13)
(7ด13)(2ด2ด7)
(2ด7)(2ด7ด13)

เพื่อความง่ายในการตัดเงื่อนไขที่เป็นไปไม่ได้ทิ้งออกไป สมมติให้
2m - n = a และ 8m + 3n + 14 = b โดยที่ b ณ 25 และ เราจะพบว่า ทั้ง a และ b ต้อง > 0 แน่นอน เพราะ 8m + 3n + 14 = b ณ 25

จาก 2m - n = a แล้ว 8m = 4n + 4a แทนลงใน 8m + 3n + 14 = b จะได้ว่า 7n = b - 4a - 14 ซึ่งต้อง > 0 นั่นคือ b > 4a + 14 เป็นเงื่อนไขที่ใช้ตัดกรณีอื่น ๆ ทิ้ง

จาก 4 กรณีใหญ่ จะพบว่าแบ่งออกเป็น 7 กรณีย่อย ๆ โดยแต่ละกรณีเราจะใช้เงื่อนไข b > 4a + 14 ว่าเป็นจริงหรือไม่ จะพบว่ามีเพียงกรณีเดียวคือ เมื่อ (a, b) = (14, 91) ดังนั้น จะได้ (m, n) = (15, 14) นั่นคือ mn = 210

รู้สึกคุณ gon จะคิดเลขผิดนะครับ ที่ถูกน่าจะเป็น (a, b) = (14, 182)
ซึ่งจะทำให้ได้ (m, n) = (15, 16) และ mn = 240

4 กรณีที่พี่กรแสดงมาสามารถตัดทิ้งได้อีก 2 กรณีครับ เพราะสังเกตจากโจทย์เริ่มต้นจะได้ว่า n ต้องเป็นจำนวนคู่ ดังนั้นเมื่อแยกตัวประกอบตามแบบของคุณ warut แล้วแต่ละเทอมจะต้องมี 2 เป็นตัวประกอบอย่างน้อย 1 ตัวครับ

ขอบคุณ คุณ warut กับ nooonuii มากครับ. เหอ ๆ ผมเบลอไปดาวอังคารเลย ในกระดาษทดก็เขียนอยู่ว่า (m,n) = (15, 16) ล่ะครับ. แต่พอมาพิมพ์ลงบอร์ดแปลงร่างผิดซะแล้ว ใช่แล้ว... ยังตัดกรณีทิ้งได้อีก ข้อนี้ใครมีเทคนิคการเดาอย่างรวดเร็วบ้างไหมนี่... (m,n) = (15, 16) นี่สอบจริงหมดสิทธิ์เดากลางทางเลยนะครับ.

ช่วยเฉลยข้อสอบสมาคม ม.ต้นปีนี้ ตอน2 ข้อ1ด้วยครับ

1. ถ้าaและbเป็นจำนวนเต็มบวกใดๆที่ทำให้ a=mq^2 และ b=qnสำหรับจำนวนเต็มบวก q,mและ n บางจำนวน โดยที่ ห.ร.ม. ของ a และbเท่ากับ p แล้ว ตัวเศษของเศษส่วนอย่างต่ำของ a/b เท่ากับเท่าใด

ไปดูคำตอบได้ที่หัวข้อ: ข้อสอบสมาคม(ม.ต้น) ครับ

นี่เป็นรูปของข้อสอบ ที่น้อง jae_bau ส่งมาให้ผมทางเมล์ ประมาณ 13 - 14 ข้อ ซึ่งผมก็พยายามทำให้มันอ่านง่ายขึ้น (หรือเปล่า) โดยเปลี่ยน Filter เป็น negative ซึ่งตามหลักการ มันควรจะตัวอักษรขาวพื้นดำ จะเห็นได้ว่าเครื่องหมายบางตัว ยังอ่านไม่เห็น