ช่วยด้วยครับ
จงหาว่ามี $a,b,c,d,e \in \mathbb{N} $ หรือไม่ที่ $a^4+b^4+c^4+d^4+e^4=3333^{3333}$ :please:
|
โดยการเช็คกับ modulo $3$ เราจะได้ว่า ทั้งห้าตัวจะต้องหารด้วย $3$ ลงตัว(อีกกรณีนึงคือ เป็นเศษตกค้าง $1$ จำนวน $3$ ตัว และหารด้วย $3$ ลงตัว $2$ จำนวน สามารถพิสูจน์ได้ไม่ยากว่าไม่มีจำนวนเต็มบวกที่สอดคล้องเงื่อนไขนี้)ดังนั้นสมมติว่าทั้ง $5$ ตัวคือ $3^{a_i}b_i$ เมื่อ $(3,b_i)=1$ สำหรับทุก $i=1,2,3,4,5$ จึงได้สมการ$\sum_{i=1}^5 3^{a_i}b_i=3333^{3333}$ โดยไม่เสียนัยทั่วไป สมมติว่า $a_5$ มีค่าน้อยที่สุด จึงได้ว่า $3^{a_5}(\sum_{i=1}^{5}3^{a_i-a_5}b_i)=3333^{3333}$ แต่เนื่องจากห.ร.ม. ของ $\sum_{i=1}^{5}3^{a_i-a_5}b_i$ กับ $3$ คือ $1$ ดังนั้นเราจะได้ทันทีว่า $a_5=3333$ แต่เนื่องจากทุกพจน์เป็นกำลัง $4$ สมบูรณ์ จึงได้ว่าค่า $a_5$ ที่น้อยที่สุดคือ $3336$ ซึ่งไม่ทำให้สมการเป็นจริง ดังนั้นจึงไม่มีจำนวนเต็มบวกใดๆที่สอดคล้องเงื่อนไขดังกล่าว
|
อ้างอิง:
|
อ้างอิง:
เราจะได้ว่า $(3a\pm 1)^4+(3b\pm 1)^4+(3c\pm 1)^4=3333^{3333}-81(d^4+e^4)$ พอจัดรูปจะได้ว่าฝั่งซ้าย $81$ หารไม่ลงตัว แต่ฝั่งขวา $81$ หารลงตัว |
อ้างอิง:
ปล. $x^4 \equiv 0,1,4,7,...,79 (mod 81)$ |
อ้างอิง:
|
อ้างอิง:
|
เหอๆๆๆ ยากพอควร เพราะคาดว่า ไม่มีผลเฉลย ไอ้เราก็ลองมาแล้วหลาย $mod (2,3,5,7,9,11,13,16)$ แต่ก็ยังไม่ออก
ความจริง ผมลอง $mod16$ ครั้งแรก! เนื่องจากเจอโจทย์ที่คล้ายๆกัน แต่บวกกัน$14$ตัว |
ผมก็ว่าอย่างนั้นครับ เพื่อนผมเขาเอามาให้ผมช่วยคิดอ่าครับ ผมเองก็คิดไม่ออก :haha:
|
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 16:23 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha