Derivative
 

ให้ $f(x)=(x-6)^7(x-7)^6$ จงหา $f^{(8)}(7)$

อย่างนี้ไหวมั้ยครับ :unsure:

$$f(x+6)=x^7(x-1)^6$$

#2
แล้วทำไงต่อดีครับ (ทางนี้ผมเคยหลงเข้ามาแล้วครับ)

$f^{(8)}(x)$ นี่หมายถึง อนุพันธ์อันดับ 8 ของ $f(x)$ หรือเปล่าครับ ถ้าใช่ก็กระจายแล้วดิฟแล้วก็แทน $x=1$
ถ้า $f^{(8)}(x)=f(f(f(f(f(f(f(f(x))))))))$ คงไม่น่าใช่เพราะชื่อกระทู้ :laugh:

หรือผมเข้าใจอะไรผิดนะ :sweat:

#4
อนุพันธ์อันดับ 8 ครับ

กระจายแล้วหาอนุพันธ์อย่างไรครับ

$$f(x+6)=x^{13}-6x^{12}+15x^{11}-20x^{10}+15x^9-6x^8+x^7$$
$$f^{(8)}(x+6)= (\frac{13!}{5!})x^5-6(\frac{12!}{4!})x^4+15(\frac{11!}{3!})x^3-20(\frac{10!}{2!})x^5+15(9!)-6(8!)$$
$$f^{(8)}(7)=(\frac{13!}{5!})-6(\frac{12!}{4!})+15(\frac{11!}{3!})-20(\frac{10!}{2!})+15(9!)-6(8!)$$

สมมติ $f(x)=a_0+a_1(x-7)+\cdots+a_n(x-7)^n+\cdots$

จากสูตรการกระจายอนุกรมเทเลอร์

$a_n=\dfrac{f^{(n)}(7)}{n!}$

ดังนั้น $f^{(8)}(7)=8!a_8$

ต่อไปพิจารณา

$(x-6)^7=(x-7+1)^7=(x-7)^7+\binom{7}{1}(x-7)^6+\cdots+\binom{7}{5}(x-7)^2+\binom{7}{6}(x-7)+1$

จึงได้

$(x-7)^6(x-6)^7=(x-7)^{13}+\binom{7}{1}(x-7)^{12}+\cdots+\binom{7}{5}(x-7)^8+\binom{7}{6}(x-7)^7+(x-7)^6$

ดังนั้น $a_8=\binom{7}{5}$

$f^{(8)}(7)=8!\binom{7}{5}$

#7
เหมือน Soln ผมเลย :)

ปล.ผมว่าเอาไปแต่งต่อได้อยู่นะ