Geometry IMO 2007
 

พอดีว่าไปเจอโจทย์จากเพื่อนมาครับ เเละเห็นว่าสวยงามดี

Let $R$ be the point that being on the circumcircle of triangle $ABC$ such that $\hat {BCR}=\hat {RCA}=\dfrac{1}{2}\hat{ACB}$ and let $S,T$ is the mid-point of $AC,BC$ respectively. Then draw the perpendicular line to the $AC,BC$ through $S,T$ meet $CR$ at $P,Q $ respectively
Prove that the area of the following triangle are equivalent, $RPS$ and $RTQ$

เหมือนว่าต้องใช้ ptolemy หรือเปล่าครับ เพื่อพิสูจน์ว่า $RC \cos \theta = \dfrac{AC+BC}{2}$ เมื่อ $\theta=\angle BCR$

จากนั้นก็ลากเส้นจาก $R$ มาตั้งฉาก $BC$ ที่ $R'$ จะได้ $[RTQ]=\dfrac{1}{2}\times QT \times R'T$

$= \dfrac{1}{2}\times\dfrac{BC \tan\theta}{2}\times(RC\cos \theta -TC)$

$= \dfrac{1}{2}\times\dfrac{BC \tan\theta}{2}\times(\dfrac{AC+BC}{2} -\dfrac{BC}{2})$

$= \dfrac{AC \times BC \times \tan \theta}{8}$

ในทำนองเดียวกัน จะได้ $[PTQ]$ มีค่าเท่ากัน

น่าจะ IMO ข้อ 1 ไม่ก็ 4 หรือเปล่าครับ :happy::happy:

ยอดเยี่ยมมากครับ ส่วนวิธีของผมคือ $$[RPS]=[RTQ]\sim [RQB]=[ARP]$$ ซึ่งจริงเพราะ $\Delta RQB\cong \Delta APR $

บรรทัดสุดท้ายทำไมถึงจริงครับ เหมือนจะยังไม่เห็นได้ชัดนะครับ