ติดโจทย์ข้อนี้ช่วยแก้ให้ดูหน่อยครับ
 

$(\sqrt{3+\sqrt{8}})^x + (\sqrt{3-\sqrt{8}})^x = 34$


ข้อนี้ครับช่วยแก้ให้ดูหน่อยนะครับขอบคุณครับ

ผมได้ 4 อ่ะครับ

แล้ววิธีทำนี่มันยังไงอ่ะครับ งง

ลองยกกำลังสองทั้งของดูครับ

งง ครับ งง ยังไงมานก็ติดทั้ง 2 พจน์ อยูดีอ่ะงับ ขอทำให้ดูหน่อยนะงับขอบคุนครับ

\[
\left( {\sqrt {3 + \sqrt 8 } } \right)^x + \left( {\sqrt {3 - \sqrt 8 } } \right)^x = 34
\]
\[
\left( {\sqrt {3 + \sqrt 8 } } \right)^x + \frac{1}{{\left( {\sqrt {3 + \sqrt 8 } } \right)^x }} = 34
\]
ให้\[
A = \left( {\sqrt {3 + \sqrt 8 } } \right)^x
\]
จะได้ \[
A + \frac{1}{A} = 34
\]
\[
A^2 - 34A + 1 = 0
\]
\[
A = \frac{{34 \pm \sqrt {1152} }}{2} = \frac{{34 \pm 24\sqrt 2 }}{2} = 17 \pm 12\sqrt 2
\]
เนื่องจาก A > 0 จะได้
\[
A = 17 + 12\sqrt 2
\]
\[
\left( {\sqrt {3 + \sqrt 8 } } \right)^x = 17 + 12\sqrt 2 = 17 + 2\sqrt {72} = \left( {3 + \sqrt 8 } \right)^2
\]
ดังนั้น x = 4

ขอผมแย้งหน่อยนะครับ คงจะไม่ว่ากัน :D

ข้อนี้มีสองคำตอบคือ $ x =\ \pm 4 $ ครับ ผมลองจัดรูปโจทย์ให้ดูง่ายขึ้นและแสดงให้เห็นว่ามีสองคำตอบดังนี้

จาก $ \left( {\sqrt {3 + \sqrt 8 } } \right)^x + \left( {\sqrt {3 - \sqrt 8 } } \right)^x = 34 \ $ สามารถจัดรูปใหม่ได้เป็น $ \left( { \sqrt 2 + 1} \right)^x + \left( { \sqrt 2 -1} \right)^x = 34 $

และ $ ( \sqrt 2 + 1)^4 + ( \sqrt 2 -1)^4 = ( \sqrt 2 + 1)^4 + \dfrac{1}{( \sqrt 2 +1)^4} = \dfrac{1}{( \sqrt 2 -1)^4} + \dfrac{1}{( \sqrt 2 +1)^4} = ( \sqrt 2 + 1)^{-4} + ( \sqrt 2 -1)^{-4} $

อืม ใช่แล้วครับ ขออภัยด้วยครับ ตอนทำก็ลืมตรวจดูอีกครั้ง :please:

โจทย์ลักษณะนี้มักเห็นบ่อยครับ มีวิธีการสังเกตคือ $\sqrt {3 + \sqrt 8}$ กับ $\sqrt {3 - \sqrt 8}$ เป็นส่วนกลับซึ่งกันและกัน ดังนั้นถ้าโจทย์ข้อนี้สามารถหาคำตอบได้คือ a ก็จะมี -a เป็นอีกคำตอบด้วยครับ