17|n ลงตัวก็ต่อเมื่อ?
 

จากความจริงที่ว่า

จำนวนหารด้วย 2 ลงตัว ก็ต่อเมื่อ เลขโดดหลักสุดท้าย หารด้วย 2 ลงตัว
จำนวนหารด้วย 3 ลงตัว ก็ต่อเมื่อ ผลบวกของเลขโดดทุกหลัก หารด้วย 3 ลงตัว
จำนวนหารด้วย 4 ลงตัว ก็ต่อเมื่อ จำนวนที่เป็นเลขโดด 2 หลักสุดท้าย หารด้วย 4 ลงตัว
จำนวนหารด้วย 5 ลงตัว ก็ต่อเมื่อ เลขโดดหลักสุดท้ายคือ 0 หรือ 5

และอื่นๆอีกมากมาย

ถ้าเราจะหาเงื่อนไขที่จำนวนเฉพาะที่ใหญ่ขึ้น หารจำนวนใดๆลงตัว

เช่น 17 19 23 29 31 37 และอื่นๆอีกมากมาย จะหารจำนวนเต็มใดๆลงตัว ก็ต่อเมื่อ ...

จาหาเงื่อนไขนั้นอย่างไรครับ และมีวิธีการอย่างไรครับ?

ดูที่นี่ครับ

http://en.wikipedia.org/wiki/Divisibility_rule

แต่คิดว่าของ $17$ อาจจะผิด ผมลองทำตามแล้วไม่ได้อย่างที่เขาบอกไว้

แปลยากจัง google ก็ยากที่จะเข้าใจ

หารด้วย 13 ลงตัว

ให้จัดรูปเป็นบล็อกละสาม จากขวา

เช่น อยากรู้ว่า 12345671 หารด้วย 13 ลงตัวหรือไม่

จัดเป็นบล็อกสามจากขวา ได้ {12}, {345}, {671}

ใช้ผลต่างของ ผลรวมบล็อกคู่ กับ ผลรวมบล็อกคี่

12 -345 +671 = 338

ได้ผลลัพธ์เท่าไร ก็ใช้ผลลัพธ์นั้นมาคำนวนต่อ
เอาหลักสุดท้ายคูณด้วย 4 แล้วบวกด้วยเลขข้างหน้า ทำไปเรื่อยๆ

(8 x 4) + 33 = 32 +33 = 65

(5 x 4) + 6 = 26

26 หารด้วย 13 ลงตัว



หารด้วย 17 ลงตัว
ให้เอา 5 คูณ หลักหน่วย แล้วเอาผลลัพธ์ไปหักออกจากที่ตัวเลขเหลือ ทำไปเรื่อยๆ

เช่น 77639 หารด้วย 17 ลงตัวหรือไม่

7763 - (5x9) = 7763 -45 = 7718

771 - (5x8) = 771-40 = 731

73 - (5x1) = 73-5 = 68


หารด้วย 19 ลงตัว

เอา 2 คูณ หลักสุดท้าย มาบวกกับตัวเลขที่เหลือ ทำไปเรื่อยๆ

เช่น 234571701 หารด้วย 19 ลงตัวหรือไม่

23457170 + (1x2) = 23457172

2345717 + (2x2) = 2345717+4 = 2345721

234572 + (2x1) = 234574

23457 + (2x4) = 23465

2346 + (2x5) = 2356

235 + (2x6) = 247

24 + (2x7) = 38

3 + (2x8) = 19



หารด้วย 23 ลงตัวหรือไม่

แบบเตียวกับ 19 แต่คูณตัวท้ายด้วย 7 แล้วบวกกับเลขที่เหลือข้างหน้า



หารด้วย 29 ลงตัวหรือไม่

แบบเดียวกับ 23 แต่คูณตัวท้ายด้วย 3 แล้วบวกกับเลขที่เหลือข้างหน้า




หารด้วย 31 ลงตัวหรือไม่

แบบเดียวกับ 23 แต่คูณตัวท้ายด้วย 3 แล้วลบออกจากเลขที่เหลือข้างหน้า


หารด้วย 41 ลงตัวหรือไม่

แบบเดียวกับ 31 แต่คูณตัวท้ายด้วย 4 แล้วลบออกจากเลขที่เหลือข้างหน้า



หารด้วย 47 ลงตัวหรือไม่

แบบเดียวกับ 41 แต่คูณตัวท้ายด้วย 14 แล้วลบออกจากเลขที่เหลือข้างหน้า

แค่นี้คงจำกันไม่ไหวแล้ว :haha:

มีวิธีพิสูจน์กันมั้ยครับ

เข้าใจแล้วว่าทำไมผมได้ไม่ตรงกับสูตรที่เขาให้มา

สูตรบางสูตรเอาไว้เช็คการหารลงตัวอย่างเดียวครับ

ไม่ได้บอกว่าเศษจากการหารเป็นเท่าไหร่

สำหรับวิธีพิสูจน์ก็ใช้สมบัติของเลขจำนวนเฉพาะแต่ละตัวเมื่อนำไปหาร $10^n$

เช่น สำหรับ $13$ เรารู้ว่า $1001=7\cdot 11\cdot 13$

ดังนั้น $10^3\equiv -1\pmod{13}$

ถ้าสมมติเรามีเลขฐานสิบ $a_na_{n-1}\cdots a_1a_0$

เราสามารถเขียนใหม่เป็น

$a_2a_1a_0+a_5a_4a_3\times 10^3+a_8a_7a_6\times 10^6+\cdots\equiv a_2a_1a_0-a_5a_4a_3+a_8a_7a_6-\cdots\pmod{13}$

ซึ่งก็คือสูตรที่คุณ banker ให้ไว้และเป็นที่มาว่าทำไมต้องแบ่งทีละสามตัวจากหลังไปหน้า

แต่บางสูตรก็ไม่ได้ใช้วิธีนี้ครับ อย่างเช่นของ $17$ ที่ทำผมงง